Ratkaise (2x+3)(x-1)=15

$$(2x+3)(x-1)=15$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{145} - 1}{4} \approx 2,760398645$$

$$x=\frac{-\sqrt{145}-1}{4}\approx -3,260398645$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 2x+3 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}+x-3=15$$

Vähennä 15 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+x-3-15=0$$

Vähennä 15 luvusta -3 saadaksesi tuloksen -18.

$$2x^{2}+x-18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 1 ja c luvulla -18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -18.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+144}}{2\times 2}$$

Lisää 1 lukuun 144.

$$x=\frac{-1±\sqrt{145}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{145}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{145}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}-1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{145}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{145} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{145}-1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{145}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{145}-1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 2x+3 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}+x-3=15$$

Lisää 3 molemmille puolille.

$$2x^{2}+x=15+3$$

Selvitä 18 laskemalla yhteen 15 ja 3.

$$2x^{2}+x=18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{18}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{18}{2}$$

Jaa 18 luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=9$$

Jaa \frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{4}. Lisää sitten \frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=9+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=9+\frac{1}{16}$$

Lisää 9 lukuun \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{145}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{145}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{145}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{145}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{4}$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{145}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{145}-1}{4}$$