Ratkaise (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14,152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0,847932652$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 20-x ja 100+20x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Vähennä 2240 molemmilta puolilta.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

Vähennä 2240 luvusta 2000 saadaksesi tuloksen -240.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -20, b luvulla 300 ja c luvulla -240 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Korota 300 neliöön.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kerro -4 ja -20.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kerro 80 ja -240.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

Lisää 90000 lukuun -19200.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

Ota luvun 70800 neliöjuuri.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

Kerro 2 ja -20.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -300 lukuun 20\sqrt{177}.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Jaa -300+20\sqrt{177} luvulla -40.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20\sqrt{177} luvusta -300.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

Jaa -300-20\sqrt{177} luvulla -40.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 20-x ja 100+20x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

Vähennä 2000 molemmilta puolilta.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

Vähennä 2000 luvusta 2240 saadaksesi tuloksen 240.

$$300x-20x^{2}=240$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+300x=240$$

Jaa molemmat puolet luvulla -20.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

Jakaminen luvulla -20 kumoaa kertomisen luvulla -20.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

Jaa 300 luvulla -20.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

Jaa 240 luvulla -20.

$$x^{2}-15x=-12$$

Jaa -15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{2}. Lisää sitten -\frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

Lisää -12 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

Jaa x^{2}-15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

Lisää \frac{15}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$