Ratkaise (20-3x)(12-2x)=112

$$(20-3x)(12-2x)=112$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2$$

$$x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \approx 10,666666667$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 20-3x ja 12-2x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Vähennä 112 molemmilta puolilta.

$$240-76x+6x^{2}-112=0$$

Vähennä 112 luvusta 240 saadaksesi tuloksen 128.

$$128-76x+6x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6x^{2}-76x+128=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla -76 ja c luvulla 128 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{\left(-76\right)^{2}-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Korota -76 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-4\times 6\times 128}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-24\times 128}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 128.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{5776-3072}}{2\times 6}$$

Lisää 5776 lukuun -3072.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±\sqrt{2704}}{2\times 6}$$

Ota luvun 2704 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-76\right)±52}{2\times 6}$$

Luvun -76 vastaluku on 76.

$$x=\frac{76±52}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$x=\frac{76±52}{12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{76±52}{12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 76 lukuun 52.

$$x=\frac{128}{12}$$

Supista murtoluku \frac{128}{12} luvulla 4.

$$x=\frac{32}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{76±52}{12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 52 luvusta 76.

$$x=\frac{24}{12}$$

Jaa 24 luvulla 12.

$$x=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 20-3x ja 12-2x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$240-76x+6x^{2}=112$$

Vähennä 240 molemmilta puolilta.

$$-76x+6x^{2}=112-240$$

Vähennä 240 luvusta 112 saadaksesi tuloksen -128.

$$-76x+6x^{2}=-128$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-76x=-128$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6x^{2}-76x}{6}=-\frac{128}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{76}{6}\right)x=-\frac{128}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-76}{6} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{128}{6}$$

Supista murtoluku \frac{-128}{6} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x=-\frac{64}{3}$$

Jaa -\frac{38}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{19}{3}. Lisää sitten -\frac{19}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{3}+\left(-\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Korota -\frac{19}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=-\frac{64}{3}+\frac{361}{9}$$

Lisää -\frac{64}{3} lukuun \frac{361}{9} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{169}{9}$$

Jaa x^{2}-\frac{38}{3}x+\frac{361}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{19}{3}=\frac{13}{3} x-\frac{19}{3}=-\frac{13}{3}$$

Lisää \frac{19}{3} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{32}{3} x=2$$