Ratkaise (10-x)(200+50x)=1250

$$(10-x)(200+50x)=1250$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7,898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1,898979486$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 10-x ja 200+50x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Vähennä 1250 molemmilta puolilta.

$$2000+300x-50x^{2}-1250=0$$

Vähennä 1250 luvusta 2000 saadaksesi tuloksen 750.

$$750+300x-50x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-50x^{2}+300x+750=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -50, b luvulla 300 ja c luvulla 750 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Korota 300 neliöön.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-50\right)\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Kerro -4 ja -50.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+200\times 750}}{2\left(-50\right)}$$

Kerro 200 ja 750.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+150000}}{2\left(-50\right)}$$

Lisää 90000 lukuun 150000.

$$x=\frac{-300±\sqrt{240000}}{2\left(-50\right)}$$

Ota luvun 240000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{2\left(-50\right)}$$

Kerro 2 ja -50.

$$x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -300 lukuun 200\sqrt{6}.

$$x=\frac{200\sqrt{6}-300}{-100}$$

Jaa -300+200\sqrt{6} luvulla -100.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-300±200\sqrt{6}}{-100}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 200\sqrt{6} luvusta -300.

$$x=\frac{-200\sqrt{6}-300}{-100}$$

Jaa -300-200\sqrt{6} luvulla -100.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=3-2\sqrt{6} x=2\sqrt{6}+3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 10-x ja 200+50x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2000+300x-50x^{2}=1250$$

Vähennä 2000 molemmilta puolilta.

$$300x-50x^{2}=1250-2000$$

Vähennä 2000 luvusta 1250 saadaksesi tuloksen -750.

$$300x-50x^{2}=-750$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-50x^{2}+300x=-750$$

Jaa molemmat puolet luvulla -50.

$$\frac{-50x^{2}+300x}{-50}=-\frac{750}{-50}$$

Jakaminen luvulla -50 kumoaa kertomisen luvulla -50.

$$x^{2}+\frac{300}{-50}x=-\frac{750}{-50}$$

Jaa 300 luvulla -50.

$$x^{2}-6x=-\frac{750}{-50}$$

Jaa -750 luvulla -50.

$$x^{2}-6x=15$$

Jaa -6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -3. Lisää sitten -3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Lisää 15 lukuun 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Jaa x^{2}-6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Sievennä.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$