Ratkaise (1+x)(1+2x)=132

$$(1+x)(1+2x)=132$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{1057} - 3}{4} \approx 7,377884104$$

$$x=\frac{-\sqrt{1057}-3}{4}\approx -8,877884104$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 1+x ja 1+2x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$1+3x+2x^{2}=132$$

Vähennä 132 molemmilta puolilta.

$$1+3x+2x^{2}-132=0$$

Vähennä 132 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -131.

$$-131+3x+2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+3x-131=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 3 ja c luvulla -131 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-131\right)}}{2\times 2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-131\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-131\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -131.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+1048}}{2\times 2}$$

Lisää 9 lukuun 1048.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1057}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1057}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{1057}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{1057}.

$$x=\frac{\sqrt{1057}-3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{1057}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{1057} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{1057}-3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{1057}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{1057}-3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 1+x ja 1+2x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$1+3x+2x^{2}=132$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$3x+2x^{2}=132-1$$

Vähennä 1 luvusta 132 saadaksesi tuloksen 131.

$$3x+2x^{2}=131$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x=131$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{131}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{131}{2}$$

Jaa \frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{4}. Lisää sitten \frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{131}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{131}{2}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{131}{2} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1057}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1057}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1057}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{1057}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{1057}}{4}$$

Vähennä \frac{3}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{1057}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{1057}-3}{4}$$