Ratkaise (1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10,630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10,630145813i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Laske lukujen 2 ja 1+\frac{x}{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Ilmaise 2\times \frac{x}{2} säännöllisenä murtolukuna.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Supista 2 ja 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen 2+x termi jokaisella lausekkeen 1000-200x termillä.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Selvitä 600x yhdistämällä -400x ja 1000x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Laske lukujen 1000 ja 1+x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Selvitä 3000 laskemalla yhteen 2000 ja 1000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Selvitä 1600x yhdistämällä 600x ja 1000x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Vähennä 28800 molemmilta puolilta.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

Vähennä 28800 luvusta 3000 saadaksesi tuloksen -25800.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -200, b luvulla 1600 ja c luvulla -25800 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Korota 1600 neliöön.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Kerro -4 ja -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Kerro 800 ja -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

Lisää 2560000 lukuun -20640000.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

Ota luvun -18080000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

Kerro 2 ja -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1600 lukuun 400i\sqrt{113}.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

Jaa -1600+400i\sqrt{113} luvulla -400.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 400i\sqrt{113} luvusta -1600.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

Jaa -1600-400i\sqrt{113} luvulla -400.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Laske lukujen 2 ja 1+\frac{x}{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Ilmaise 2\times \frac{x}{2} säännöllisenä murtolukuna.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Supista 2 ja 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Sovella osittelulakia kertomalla jokainen lausekkeen 2+x termi jokaisella lausekkeen 1000-200x termillä.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Selvitä 600x yhdistämällä -400x ja 1000x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Laske lukujen 1000 ja 1+x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Selvitä 3000 laskemalla yhteen 2000 ja 1000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Selvitä 1600x yhdistämällä 600x ja 1000x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Vähennä 3000 molemmilta puolilta.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

Vähennä 3000 luvusta 28800 saadaksesi tuloksen 25800.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

Jaa molemmat puolet luvulla -200.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

Jakaminen luvulla -200 kumoaa kertomisen luvulla -200.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

Jaa 1600 luvulla -200.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

Jaa 25800 luvulla -200.

$$x^{2}-8x=-129$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

Lisää -129 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

Sievennä.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$