Ratkaise (x-4)(28-x)-16=103

$$( x - 4 ) ( 28 - x ) - 16 = 103$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=11$$

$$x=21$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x-4 ja 28-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$32x-x^{2}-112-16=103$$

Vähennä 16 luvusta -112 saadaksesi tuloksen -128.

$$32x-x^{2}-128=103$$

Vähennä 103 molemmilta puolilta.

$$32x-x^{2}-128-103=0$$

Vähennä 103 luvusta -128 saadaksesi tuloksen -231.

$$32x-x^{2}-231=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+32x-231=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 32 ja c luvulla -231 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\left(-1\right)\left(-231\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 32 neliöön.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\left(-1\right)\left(-231\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+4\left(-231\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -231.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-924}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1024 lukuun -924.

$$x=\frac{-32±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 100 neliöjuuri.

$$x=\frac{-32±10}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-32±10}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-32±10}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -32 lukuun 10.

$$x=-\frac{22}{-2}$$

Jaa -22 luvulla -2.

$$x=11$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-32±10}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10 luvusta -32.

$$x=-\frac{42}{-2}$$

Jaa -42 luvulla -2.

$$x=21$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=11 x=21$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x-4 ja 28-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$32x-x^{2}-112-16=103$$

Vähennä 16 luvusta -112 saadaksesi tuloksen -128.

$$32x-x^{2}-128=103$$

Lisää 128 molemmille puolille.

$$32x-x^{2}=103+128$$

Selvitä 231 laskemalla yhteen 103 ja 128.

$$32x-x^{2}=231$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+32x=231$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+32x}{-1}=\frac{231}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{32}{-1}x=\frac{231}{-1}$$

Jaa 32 luvulla -1.

$$x^{2}-32x=\frac{231}{-1}$$

Jaa 231 luvulla -1.

$$x^{2}-32x=-231$$

Jaa -32 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -16. Lisää sitten -16:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-32x+\left(-16\right)^{2}=-231+\left(-16\right)^{2}$$

Korota -16 neliöön.

$$x^{2}-32x+256=-231+256$$

Lisää -231 lukuun 256.

$$x^{2}-32x+256=25$$

Jaa x^{2}-32x+256 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-16\right)^{2}=25$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-16\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Sievennä.

$$x-16=5 x-16=-5$$

Lisää 16 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=21 x=11$$