Ratkaise (35-2x)(20-x)=250

$$( 35 - 2 x ) ( 20 - x ) = 250$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

$$x=30$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 35-2x ja 20-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$700-75x+2x^{2}=250$$

Vähennä 250 molemmilta puolilta.

$$700-75x+2x^{2}-250=0$$

Vähennä 250 luvusta 700 saadaksesi tuloksen 450.

$$450-75x+2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-75x+450=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -75 ja c luvulla 450 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{\left(-75\right)^{2}-4\times 2\times 450}}{2\times 2}$$

Korota -75 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-4\times 2\times 450}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-8\times 450}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 450.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{5625-3600}}{2\times 2}$$

Lisää 5625 lukuun -3600.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±\sqrt{2025}}{2\times 2}$$

Ota luvun 2025 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-75\right)±45}{2\times 2}$$

Luvun -75 vastaluku on 75.

$$x=\frac{75±45}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{75±45}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{75±45}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 75 lukuun 45.

$$x=\frac{120}{4}$$

Jaa 120 luvulla 4.

$$x=30$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{75±45}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 45 luvusta 75.

$$x=\frac{30}{4}$$

Supista murtoluku \frac{30}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=30 x=\frac{15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 35-2x ja 20-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$700-75x+2x^{2}=250$$

Vähennä 700 molemmilta puolilta.

$$-75x+2x^{2}=250-700$$

Vähennä 700 luvusta 250 saadaksesi tuloksen -450.

$$-75x+2x^{2}=-450$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-75x=-450$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-75x}{2}=-\frac{450}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{75}{2}x=-\frac{450}{2}$$

Jaa -450 luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{75}{2}x=-225$$

Jaa -\frac{75}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{75}{4}. Lisää sitten -\frac{75}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{75}{2}x+\left(-\frac{75}{4}\right)^{2}=-225+\left(-\frac{75}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{75}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{75}{2}x+\frac{5625}{16}=-225+\frac{5625}{16}$$

Lisää -225 lukuun \frac{5625}{16}.

$$x^{2}-\frac{75}{2}x+\frac{5625}{16}=\frac{2025}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{75}{2}x+\frac{5625}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{75}{4}\right)^{2}=\frac{2025}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{75}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{75}{4}=\frac{45}{4} x-\frac{75}{4}=-\frac{45}{4}$$

Lisää \frac{75}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=30 x=\frac{15}{2}$$