Ratkaise (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan r suhteen

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3+r\right)^{2} laajentamiseen.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(15+r\right)^{2} laajentamiseen.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Selvitä 234 laskemalla yhteen 9 ja 225.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Selvitä 36r yhdistämällä 6r ja 30r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Selvitä 2r^{2} yhdistämällä r^{2} ja r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Laske 18 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Vähennä 324 molemmilta puolilta.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Vähennä 324 luvusta 234 saadaksesi tuloksen -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 36 ja c luvulla -90 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Korota 36 neliöön.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Lisää 1296 lukuun 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Ota luvun 2016 neliöjuuri.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -36 lukuun 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Jaa -36+12\sqrt{14} luvulla 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Ratkaise nyt yhtälö r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12\sqrt{14} luvusta -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Jaa -36-12\sqrt{14} luvulla 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3+r\right)^{2} laajentamiseen.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(15+r\right)^{2} laajentamiseen.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Selvitä 234 laskemalla yhteen 9 ja 225.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Selvitä 36r yhdistämällä 6r ja 30r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Selvitä 2r^{2} yhdistämällä r^{2} ja r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Laske 18 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Vähennä 234 molemmilta puolilta.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Vähennä 234 luvusta 324 saadaksesi tuloksen 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Jaa 36 luvulla 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Jaa 90 luvulla 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Jaa 18 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 9. Lisää sitten 9:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Korota 9 neliöön.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Lisää 45 lukuun 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Jaa r^{2}+18r+81 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Sievennä.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$