Ratkaise (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=-1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3+2y\right)^{2} laajentamiseen.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Selvitä 6y^{2} yhdistämällä 4y^{2} ja 2y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Vähennä 3 luvusta 9 saadaksesi tuloksen 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon y^{2}+ay+by+1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=1 b=1$$

Kirjoita \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right) uudelleen muodossa y^{2}+2y+1.

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Ota y tekijäksi lausekkeessa y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Jaa yleinen termi y+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Löydät yhtälön ratkaisun ratkaisemalla yhtälön y+1=0.

$$y=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3+2y\right)^{2} laajentamiseen.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Selvitä 6y^{2} yhdistämällä 4y^{2} ja 2y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Vähennä 3 luvusta 9 saadaksesi tuloksen 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 6, b luvulla 12 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Korota 12 neliöön.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Kerro -4 ja 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Kerro -24 ja 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Lisää 144 lukuun -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Kerro 2 ja 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Jaa -12 luvulla 12.

$$y=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3+2y\right)^{2} laajentamiseen.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Selvitä 6y^{2} yhdistämällä 4y^{2} ja 2y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Vähennä 9 luvusta 3 saadaksesi tuloksen -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Jakaminen luvulla 6 kumoaa kertomisen luvulla 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Jaa 12 luvulla 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Jaa -6 luvulla 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Lisää -1 lukuun 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Jaa y^{2}+2y+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$y+1=0 y+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=-1 y=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$y=-1$$