Ratkaise (2x-1)^2=121

$$( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 121$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=6$$

$$x=-5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Vähennä 121 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Vähennä 121 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -120.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x^{2}-x-30=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-30. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -1.

$$a=-6 b=5$$

Kirjoita \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right) uudelleen muodossa x^{2}-x-30.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Vähennä 121 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Vähennä 121 luvusta 1 saadaksesi tuloksen -120.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -4 ja c luvulla -120 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -120.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 1920.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Ota luvun 1936 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±44}{2\times 4}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±44}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{4±44}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±44}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 44.

$$x=\frac{48}{8}$$

Jaa 48 luvulla 8.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±44}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 44 luvusta 4.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Jaa -40 luvulla 8.

$$x=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2x-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-4x=121-1$$

Vähennä 1 luvusta 121 saadaksesi tuloksen 120.

$$4x^{2}-4x=120$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{120}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x^{2}-x=\frac{120}{4}$$

Jaa 120 luvulla 4.

$$x^{2}-x=30$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Lisää 30 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=-5$$