Ratkaise (2x+3)^2=25

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } = 25$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=-4$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Vähennä 25 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+12x+9-25=0$$

Vähennä 25 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -16.

$$4x^{2}+12x-16=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x^{2}+3x-4=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -4.

$$-1,4 -2,2$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=-1 b=4$$

Kirjoita \left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right) uudelleen muodossa x^{2}+3x-4.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(4x-4\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja x+4=0.

$$x=1 x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Vähennä 25 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+12x+9-25=0$$

Vähennä 25 luvusta 9 saadaksesi tuloksen -16.

$$4x^{2}+12x-16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 12 ja c luvulla -16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -16.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+256}}{2\times 4}$$

Lisää 144 lukuun 256.

$$x=\frac{-12±\sqrt{400}}{2\times 4}$$

Ota luvun 400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±20}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-12±20}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±20}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Jaa 8 luvulla 8.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±20}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20 luvusta -12.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Jaa -32 luvulla 8.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(2x+3\right)^{2} laajentamiseen.

$$4x^{2}+12x+9=25$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+12x=25-9$$

Vähennä 9 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 16.

$$4x^{2}+12x=16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=\frac{16}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=\frac{16}{4}$$

Jaa 12 luvulla 4.

$$x^{2}+3x=\frac{16}{4}$$

Jaa 16 luvulla 4.

$$x^{2}+3x=4$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Lisää 4 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=1 x=-4$$