Ratkaise (1+y^2)dx=(tan^-1y-x)dy

$$( 1 + y ^ { 2 } ) d x = ( \tan ^ { - 1 } y - x ) d y$$

Ratkaise muuttujan d suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{C}\text{, }&x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{ and }y\neq \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{ and }y\neq \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen 1+y^{2} ja d tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Laske lukujen d+y^{2}d ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Laske lukujen \arctan(y)-x ja d tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Laske lukujen \arctan(y)d-xd ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Vähennä \arctan(y)dy molemmilta puolilta.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy=-xdy$$

Lisää xdy molemmille puolille.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy+xdy=0$$

Järjestä termit uudelleen.

$$-dy\arctan(y)+dxy^{2}+dxy+dx=0$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät d:n.

$$\left(-y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x\right)d=0$$

Jaa 0 luvulla -y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x.

$$d=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{, }&y\neq \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\text{ and }y\neq \frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\\x\in \mathrm{C}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen 1+y^{2} ja d tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Laske lukujen d+y^{2}d ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Laske lukujen \arctan(y)-x ja d tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Laske lukujen \arctan(y)d-xd ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Lisää xdy molemmille puolille.

$$dx+y^{2}dx+xdy=\arctan(y)dy$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x:n.

$$\left(d+y^{2}d+dy\right)x=\arctan(y)dy$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\left(dy^{2}+dy+d\right)x=dy\arctan(y)$$

Jaa molemmat puolet luvulla d+y^{2}d+dy.

$$\frac{\left(dy^{2}+dy+d\right)x}{dy^{2}+dy+d}=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Jakaminen luvulla d+y^{2}d+dy kumoaa kertomisen luvulla d+y^{2}d+dy.

$$x=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Jaa \arctan(y)dy luvulla d+y^{2}d+dy.

$$x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}$$

Ratkaise muuttujan d suhteen

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen 1+y^{2} ja d tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Laske lukujen d+y^{2}d ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Laske lukujen \arctan(y)-x ja d tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Laske lukujen \arctan(y)d-xd ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Vähennä \arctan(y)dy molemmilta puolilta.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy=-xdy$$

Lisää xdy molemmille puolille.

$$dx+y^{2}dx-\arctan(y)dy+xdy=0$$

Järjestä termit uudelleen.

$$-dy\arctan(y)+dxy^{2}+dxy+dx=0$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät d:n.

$$\left(-y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x\right)d=0$$

Jaa 0 luvulla -y\arctan(y)+xy^{2}+xy+x.

$$d=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$\left\{\begin{matrix}\\x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$

Lineaarisen yhtälön ratkaisemisen vaiheet

Laske lukujen 1+y^{2} ja d tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(d+y^{2}d\right)x=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Laske lukujen d+y^{2}d ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)-x\right)dy$$

Laske lukujen \arctan(y)-x ja d tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\left(\arctan(y)d-xd\right)y$$

Laske lukujen \arctan(y)d-xd ja y tulo käyttämällä osittelulakia.

$$dx+y^{2}dx=\arctan(y)dy-xdy$$

Lisää xdy molemmille puolille.

$$dx+y^{2}dx+xdy=\arctan(y)dy$$

Yhdistä kaikki termit, jotka sisältävät x:n.

$$\left(d+y^{2}d+dy\right)x=\arctan(y)dy$$

Yhtälö on perusmuodossa.

$$\left(dy^{2}+dy+d\right)x=dy\arctan(y)$$

Jaa molemmat puolet luvulla d+y^{2}d+dy.

$$\frac{\left(dy^{2}+dy+d\right)x}{dy^{2}+dy+d}=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Jakaminen luvulla d+y^{2}d+dy kumoaa kertomisen luvulla d+y^{2}d+dy.

$$x=\frac{dy\arctan(y)}{dy^{2}+dy+d}$$

Jaa \arctan(y)dy luvulla d+y^{2}d+dy.

$$x=\frac{y\arctan(y)}{y^{2}+y+1}$$