Ratkaise x^2-37x+365=0

$${ x }^{ 2 } -37x+365=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{37+\sqrt{91}i}{2}\approx 18,5+4,769696007i$$

$$x=\frac{-\sqrt{91}i+37}{2}\approx 18,5-4,769696007i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-37x+365=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -37 ja c luvulla 365 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{\left(-37\right)^{2}-4\times 365}}{2}$$

Korota -37 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-4\times 365}}{2}$$

Kerro -4 ja 365.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{1369-1460}}{2}$$

Lisää 1369 lukuun -1460.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{-91}}{2}$$

Ota luvun -91 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-37\right)±\sqrt{91}i}{2}$$

Luvun -37 vastaluku on 37.

$$x=\frac{37±\sqrt{91}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{37±\sqrt{91}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 37 lukuun i\sqrt{91}.

$$x=\frac{37+\sqrt{91}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{37±\sqrt{91}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{91} luvusta 37.

$$x=\frac{-\sqrt{91}i+37}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{37+\sqrt{91}i}{2} x=\frac{-\sqrt{91}i+37}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-37x+365=0$$

Vähennä 365 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-37x+365-365=-365$$

Kun luku 365 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-37x=-365$$

Jaa -37 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{37}{2}. Lisää sitten -\frac{37}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-37x+\left(-\frac{37}{2}\right)^{2}=-365+\left(-\frac{37}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{37}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-37x+\frac{1369}{4}=-365+\frac{1369}{4}$$

Lisää -365 lukuun \frac{1369}{4}.

$$x^{2}-37x+\frac{1369}{4}=-\frac{91}{4}$$

Jaa x^{2}-37x+\frac{1369}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{37}{2}\right)^{2}=-\frac{91}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{91}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{37}{2}=\frac{\sqrt{91}i}{2} x-\frac{37}{2}=-\frac{\sqrt{91}i}{2}$$

Lisää \frac{37}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{37+\sqrt{91}i}{2} x=\frac{-\sqrt{91}i+37}{2}$$