Ratkaise x^2-165x-196+01=0

$${ x }^{ 2 } -165x-196+01=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{28009} + 165}{2} \approx 166,179447895$$

$$x=\frac{165-\sqrt{28009}}{2}\approx -1,179447895$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-165x-196=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -165 ja c luvulla -196 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-165\right)±\sqrt{\left(-165\right)^{2}-4\left(-196\right)}}{2}$$

Korota -165 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-165\right)±\sqrt{27225-4\left(-196\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -196.

$$x=\frac{-\left(-165\right)±\sqrt{27225+784}}{2}$$

Lisää 27225 lukuun 784.

$$x=\frac{-\left(-165\right)±\sqrt{28009}}{2}$$

Luvun -165 vastaluku on 165.

$$x=\frac{165±\sqrt{28009}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{165±\sqrt{28009}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 165 lukuun \sqrt{28009}.

$$x=\frac{\sqrt{28009}+165}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{165±\sqrt{28009}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{28009} luvusta 165.

$$x=\frac{165-\sqrt{28009}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{28009}+165}{2} x=\frac{165-\sqrt{28009}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-165x-196=0$$

Lisää 196 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-165x-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Kun luku -196 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-165x=-\left(-196\right)$$

Vähennä -196 luvusta 0.

$$x^{2}-165x=196$$

Jaa -165 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{165}{2}. Lisää sitten -\frac{165}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-165x+\left(-\frac{165}{2}\right)^{2}=196+\left(-\frac{165}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{165}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-165x+\frac{27225}{4}=196+\frac{27225}{4}$$

Lisää 196 lukuun \frac{27225}{4}.

$$x^{2}-165x+\frac{27225}{4}=\frac{28009}{4}$$

Jaa x^{2}-165x+\frac{27225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{165}{2}\right)^{2}=\frac{28009}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{165}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28009}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{165}{2}=\frac{\sqrt{28009}}{2} x-\frac{165}{2}=-\frac{\sqrt{28009}}{2}$$

Lisää \frac{165}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{28009}+165}{2} x=\frac{165-\sqrt{28009}}{2}$$