Ratkaise x^2-6/8x-1/2=0

$${ x }^{ 2 } - \frac{ 6 }{ 8 } x- \frac{ 1 }{ 2 } =0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -\frac{3}{4} ja c luvulla -\frac{1}{2} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{9}{16}-4\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{9}{16}+2}}{2}$$

Lisää \frac{9}{16} lukuun 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{41}{16}}}{2}$$

Ota luvun \frac{41}{16} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\frac{\sqrt{41}}{4}}{2}$$

Luvun -\frac{3}{4} vastaluku on \frac{3}{4}.

$$x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{\sqrt{41}}{4}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{\sqrt{41}}{4}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{3}{4} lukuun \frac{\sqrt{41}}{4}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{2\times 4}$$

Jaa \frac{3+\sqrt{41}}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{\sqrt{41}}{4}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{41}}{4} luvusta \frac{3}{4}.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Jaa \frac{3-\sqrt{41}}{4} luvulla 2.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=0$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Kun luku -\frac{1}{2} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Vähennä -\frac{1}{2} luvusta 0.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{8}. Lisää sitten -\frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Lisää \frac{3}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$