Ratkaise x^2+3x=100

$${ x }^{ 2 } +3x=100$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{409} - 3}{2} \approx 8,611874208$$

$$x=\frac{-\sqrt{409}-3}{2}\approx -11,611874208$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+3x=100$$

Vähennä 100 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+3x-100=100-100$$

Kun luku 100 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+3x-100=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 3 ja c luvulla -100 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-100\right)}}{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-100\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -100.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+400}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 400.

$$x=\frac{-3±\sqrt{409}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{409}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{409}.

$$x=\frac{\sqrt{409}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{409}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{409} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{409}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{409}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{409}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=100$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=100+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=100+\frac{9}{4}$$

Lisää 100 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{409}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{409}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{409}-3}{2}$$