Ratkaise x^2+3x+9=0

$${ x }^{ 2 } +3x+9=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}\approx -1,5+2,598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1,5-2,598076211i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+3x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 3 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 9}}{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 9}}{2}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-36}}{2}$$

Lisää 9 lukuun -36.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-27}}{2}$$

Ota luvun -27 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±3\sqrt{3}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{3} luvusta -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+9=0$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+3x+9-9=-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+3x=-9$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-9+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-9+\frac{9}{4}$$

Lisää -9 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{27}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-3\sqrt{3}i-3}{2}$$