Ratkaise left(3x+5right)^2+5left(3x+5right)+6=0

$${ \left(3x+5 \right) }^{ 2 } +5 \left( 3x+5 \right) +6=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Laske lukujen 5 ja 3x+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Selvitä 45x yhdistämällä 30x ja 15x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Selvitä 50 laskemalla yhteen 25 ja 25.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Selvitä 56 laskemalla yhteen 50 ja 6.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 9x^{2}+ax+bx+56. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=45 ab=9\times 56=504$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 504.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 45.

$$a=21 b=24$$

Kirjoita \left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right) uudelleen muodossa 9x^{2}+45x+56.

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 8.

$$3x\left(3x+7\right)+8\left(3x+7\right)$$

Jaa yleinen termi 3x+7 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+8\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 3x+7=0 ja 3x+8=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Laske lukujen 5 ja 3x+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Selvitä 45x yhdistämällä 30x ja 15x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Selvitä 50 laskemalla yhteen 25 ja 25.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Selvitä 56 laskemalla yhteen 50 ja 6.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla 45 ja c luvulla 56 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Korota 45 neliöön.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-36\times 56}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 56.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-2016}}{2\times 9}$$

Lisää 2025 lukuun -2016.

$$x=\frac{-45±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-45±3}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{-45±3}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-45±3}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -45 lukuun 3.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-42}{18} luvulla 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-45±3}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -45.

$$x=-\frac{48}{18}$$

Supista murtoluku \frac{-48}{18} luvulla 6.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(3x+5\right)^{2} laajentamiseen.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Laske lukujen 5 ja 3x+5 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Selvitä 45x yhdistämällä 30x ja 15x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Selvitä 50 laskemalla yhteen 25 ja 25.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Selvitä 56 laskemalla yhteen 50 ja 6.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Vähennä 56 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$9x^{2}+45x=-56$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}+45x}{9}=-\frac{56}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\frac{45}{9}x=-\frac{56}{9}$$

Jaa 45 luvulla 9.

$$x^{2}+5x=-\frac{56}{9}$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{56}{9}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{56}{9}+\frac{25}{4}$$

Lisää -\frac{56}{9} lukuun \frac{25}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{36}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{6}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$