Ratkaise sqrt{x}+2x=2

$$\sqrt { x } + 2 x = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{9-\sqrt{17}}{8}\approx 0,609611797$$

Ratkaisun vaiheet

Vähennä 2x yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{x}=2-2x$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(2-2x\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x.

$$x=\left(2-2x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2-2x\right)^{2} laajentamiseen.

$$x=4-8x+4x^{2}$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta.

$$x-4=-8x+4x^{2}$$

Lisää 8x molemmille puolille.

$$x-4+8x=4x^{2}$$

Selvitä 9x yhdistämällä x ja 8x.

$$9x-4=4x^{2}$$

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$9x-4-4x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+9x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 9 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-64}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 81 lukuun -64.

$$x=\frac{-9±\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{17}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{17}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun \sqrt{17}.

$$x=\frac{\sqrt{17}-9}{-8}$$

Jaa -9+\sqrt{17} luvulla -8.

$$x=\frac{9-\sqrt{17}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{17}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{17} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{17}-9}{-8}$$

Jaa -9-\sqrt{17} luvulla -8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+9}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9-\sqrt{17}}{8} x=\frac{\sqrt{17}+9}{8}$$

Korvaa x arvolla \frac{9-\sqrt{17}}{8} yhtälössä \sqrt{x}+2x=2.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}+2\times \frac{9-\sqrt{17}}{8}=2$$

Sievennä. Arvo x=\frac{9-\sqrt{17}}{8} täyttää yhtälön.

$$2=2$$

Korvaa x arvolla \frac{\sqrt{17}+9}{8} yhtälössä \sqrt{x}+2x=2.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{17}+9}{8}}+2\times \frac{\sqrt{17}+9}{8}=2$$

Sievennä. Arvo x=\frac{\sqrt{17}+9}{8} ei täytä yhtälöä.

$$\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\times 17^{\frac{1}{2}}=2$$

Yhtälöön\sqrt{x}=2-2x on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=\frac{9-\sqrt{17}}{8}$$