Ratkaise sqrt{2x-9}=5-sqrt{x-3}

$$\sqrt { 2 x - 9 } = 5 - \sqrt { x - 3 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=81-10\sqrt{53}\approx 8,198901107$$

Ratkaisun vaiheet

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(\sqrt{2x-9}\right)^{2}=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{2x-9} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 2x-9.

$$2x-9=\left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(5-\sqrt{x-3}\right)^{2} laajentamiseen.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x-3} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x-3.

$$2x-9=25-10\sqrt{x-3}+x-3$$

Vähennä 3 luvusta 25 saadaksesi tuloksen 22.

$$2x-9=22-10\sqrt{x-3}+x$$

Vähennä 22+x yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x-9-\left(22+x\right)=-10\sqrt{x-3}$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 22+x vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$2x-9-22-x=-10\sqrt{x-3}$$

Vähennä 22 luvusta -9 saadaksesi tuloksen -31.

$$2x-31-x=-10\sqrt{x-3}$$

Selvitä x yhdistämällä 2x ja -x.

$$x-31=-10\sqrt{x-3}$$

Korota yhtälön molemmat puolet neliöön.

$$\left(x-31\right)^{2}=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-31\right)^{2} laajentamiseen.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Lavenna \left(-10\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{2}-62x+961=\left(-10\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Laske -10 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 100.

$$x^{2}-62x+961=100\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Laske \sqrt{x-3} potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee x-3.

$$x^{2}-62x+961=100\left(x-3\right)$$

Laske lukujen 100 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x^{2}-62x+961=100x-300$$

Vähennä 100x molemmilta puolilta.

$$x^{2}-62x+961-100x=-300$$

Selvitä -162x yhdistämällä -62x ja -100x.

$$x^{2}-162x+961=-300$$

Lisää 300 molemmille puolille.

$$x^{2}-162x+961+300=0$$

Selvitä 1261 laskemalla yhteen 961 ja 300.

$$x^{2}-162x+1261=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -162 ja c luvulla 1261 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{\left(-162\right)^{2}-4\times 1261}}{2}$$

Korota -162 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-4\times 1261}}{2}$$

Kerro -4 ja 1261.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{26244-5044}}{2}$$

Lisää 26244 lukuun -5044.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±\sqrt{21200}}{2}$$

Ota luvun 21200 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-162\right)±20\sqrt{53}}{2}$$

Luvun -162 vastaluku on 162.

$$x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 162 lukuun 20\sqrt{53}.

$$x=\frac{20\sqrt{53}+162}{2}$$

Jaa 162+20\sqrt{53} luvulla 2.

$$x=10\sqrt{53}+81$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{162±20\sqrt{53}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 20\sqrt{53} luvusta 162.

$$x=\frac{162-20\sqrt{53}}{2}$$

Jaa 162-20\sqrt{53} luvulla 2.

$$x=81-10\sqrt{53}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10\sqrt{53}+81 x=81-10\sqrt{53}$$

Korvaa x arvolla 10\sqrt{53}+81 yhtälössä \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(10\sqrt{53}+81\right)-9}=5-\sqrt{10\sqrt{53}+81-3}$$

Sievennä. Arvo x=10\sqrt{53}+81 ei täytä yhtälöä, koska vasemmalla ja oikealla puolella on vastakkaisen merkit.

$$10+53^{\frac{1}{2}}=-53^{\frac{1}{2}}$$

Korvaa x arvolla 81-10\sqrt{53} yhtälössä \sqrt{2x-9}=5-\sqrt{x-3}.

$$\sqrt{2\left(81-10\sqrt{53}\right)-9}=5-\sqrt{81-10\sqrt{53}-3}$$

Sievennä. Arvo x=81-10\sqrt{53} täyttää yhtälön.

$$10-53^{\frac{1}{2}}=10-53^{\frac{1}{2}}$$

Yhtälöön\sqrt{2x-9}=-\sqrt{x-3}+5 on yksilöllinen ratkaisu.

$$x=81-10\sqrt{53}$$