Ratkaise sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

Derivoi muuttujan h suhteen

$$\cos(h)$$

Vaiheet, joissa käytetään derivaatan määritelmää

Funktion f\left(x\right) derivaatta on raja-arvo \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, kun h lähestyy arvoa 0, jos kyseinen raja-arvo on olemassa.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

Käytä sinin summakaavaa.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

Jaa tekijöihin \sin(h):n suhteen.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

Kirjoita raja-arvo uudelleen.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Käytä tietoa, että h on vakio, laskettaessa raja-arvoa, kun t lähestyy arvoa 0.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Raja-arvo \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} on 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

Jos haluat määrittää raja-arvon \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}, kerro ensin osoittaja ja nimittäjä luvulla \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Kerro \cos(t)+1 ja \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Käytä Pythagoraan identiteettiä.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Kirjoita raja-arvo uudelleen.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Raja-arvo \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} on 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Käytä tietoa, että \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} on jatkuva arvolla 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Sijoita arvo 0 yhtälöön \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h).

$$\cos(h)$$

Laske

$$\sin(h)$$