Ratkaise ∫ (from -1 to 1) of (-x^2+x+2) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 1 } (- { x }^{ 2 } +x+2) d x$$

Laske

$$\frac{10}{3}\approx 3,333333333$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int -x^{2}+x+2\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Kerro -1 ja \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x+\int 2\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+\int 2\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen 2 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$-\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{2}}{2}+2\times 1-\left(-\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}+\frac{\left(-1\right)^{2}}{2}+2\left(-1\right)\right)$$

Sievennä.

$$\frac{10}{3}$$