Ratkaise ∫ (from 1 to 8) of (1/sqrt{x}-3x+5) wrt x=

$$\int _ { 1 } ^ { 8 } ( \frac { 1 } { \sqrt { x } } - 3 x + 5 ) d x =$$

Laske

$$4\sqrt{2}-\frac{123}{2}\approx -55,843145751$$

Ratkaisun vaiheet

Laske ensin määräämätön integraali.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}-3x+5\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x+\int -3x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x-3\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

Kirjoita x^{-\frac{1}{2}} uudelleen muodossa \frac{1}{\sqrt{x}}. \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Yksinkertaista ja muunna eksponentiaalisesta muodosta juurilausekkeeksi.

$$2\sqrt{x}-3\int x\mathrm{d}x+\int 5\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Kerro -3 ja \frac{x^{2}}{2}.

$$2\sqrt{x}-\frac{3x^{2}}{2}+\int 5\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen 5 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$2\sqrt{x}-\frac{3x^{2}}{2}+5x$$

Määrätty integraali on integroinnin ylärajaan arvotetun lausekkeen integraali miinus integroinnin alarajaan arvotettu integraali.

$$2\times 8^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\times 8^{2}+5\times 8-\left(2\times 1^{\frac{1}{2}}-\frac{3}{2}\times 1^{2}+5\times 1\right)$$

Sievennä.

$$4\sqrt{2}-\frac{123}{2}$$