Ratkaise ∫ (2t+5x)(2t-5x)

$$\int ( 2 t + 5 x ) ( 2 t - 5 x )$$

Laske

$$4xt^{2}-\frac{25x^{3}}{3}+С$$

Ratkaisun vaiheet

Tarkastele lauseketta \left(2t+5x\right)\left(2t-5x\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\int \left(2t\right)^{2}-\left(5x\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Lavenna \left(2t\right)^{2}.

$$\int 2^{2}t^{2}-\left(5x\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Laske 2 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 4.

$$\int 4t^{2}-\left(5x\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Lavenna \left(5x\right)^{2}.

$$\int 4t^{2}-5^{2}x^{2}\mathrm{d}x$$

Laske 5 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 25.

$$\int 4t^{2}-25x^{2}\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int 4t^{2}\mathrm{d}x+\int -25x^{2}\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$4\int t^{2}\mathrm{d}x-25\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen t^{2} integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$4t^{2}x-25\int x^{2}\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Kerro -25 ja \frac{x^{3}}{3}.

$$4t^{2}x-\frac{25x^{3}}{3}$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivative, kaikkien f\left(x\right) antama antiderivatives F\left(x\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$4t^{2}x-\frac{25x^{3}}{3}+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$4t^{2}-25x^{2}$$