Ratkaise ∫ [x+1)^{2}-4x]^2-2a(2a+1)^2-(x^2-2x)^2=

$$\int [ x + 1 ) ^ { 2 } - 4 x ] ^ { 2 } - 2 a ( 2 a + 1 ) ^ { 2 } - ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } =$$

Laske

$$\frac{\left(x+1\right)^{3}}{3}-2x^{2}+С$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$\int x^{2}+2x+1-4x\mathrm{d}x$$

Selvitä -2x yhdistämällä 2x ja -4x.

$$\int x^{2}-2x+1\mathrm{d}x$$

Integroi summa termi kerrallaan.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Ota vakio tekijäksi kussakin termissä.

$$\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, korvaa \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}. Kerro -2 ja \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

Etsi kohteen 1 integraali yleisten integraalisääntöjen taulukon \int a\mathrm{d}x=ax avulla.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x$$

Jos F\left(x\right) on f\left(x\right) antiderivative, kaikkien f\left(x\right) antama antiderivatives F\left(x\right)+C. Lisää siihen, että integrointi C\in \mathrm{R} tulokseen.

$$\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+x+С$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\left(x-1\right)^{2}$$