Ratkaise 1/x-1/x-2=3

$$\frac{ 1 }{ x } - \frac{ 1 }{ x-2 } =3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 1,577350269$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1\approx 0,422649731$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-2\right), joka on lukujen x,x-2 pienin yhteinen jaettava.

$$x-2-x=3x\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 3x ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x-2-x=3x^{2}-6x$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-2-x-3x^{2}=-6x$$

Lisää 6x molemmille puolille.

$$x-2-x-3x^{2}+6x=0$$

Selvitä 7x yhdistämällä x ja 6x.

$$7x-2-x-3x^{2}=0$$

Selvitä 6x yhdistämällä 7x ja -x.

$$6x-2-3x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+6x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 6 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-3\right)\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12\left(-2\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-24}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 36 lukuun -24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{12}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}-6}{-6}$$

Jaa -6+2\sqrt{3} luvulla -6.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±2\sqrt{3}}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{3} luvusta -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}-6}{-6}$$

Jaa -6-2\sqrt{3} luvulla -6.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,2, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x-2\right), joka on lukujen x,x-2 pienin yhteinen jaettava.

$$x-2-x=3x\left(x-2\right)$$

Laske lukujen 3x ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x-2-x=3x^{2}-6x$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$x-2-x-3x^{2}=-6x$$

Lisää 6x molemmille puolille.

$$x-2-x-3x^{2}+6x=0$$

Selvitä 7x yhdistämällä x ja 6x.

$$7x-2-x-3x^{2}=0$$

Lisää 2 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$7x-x-3x^{2}=2$$

Selvitä 6x yhdistämällä 7x ja -x.

$$6x-3x^{2}=2$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+6x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+6x}{-3}=\frac{2}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{6}{-3}x=\frac{2}{-3}$$

Jaa 6 luvulla -3.

$$x^{2}-2x=\frac{2}{-3}$$

Jaa 2 luvulla -3.

$$x^{2}-2x=-\frac{2}{3}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{2}{3}+1$$

Lisää -\frac{2}{3} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{1}{3}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{1}{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{3}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$$