Ratkaise 1/x^3+2x^2-x-2-2/1-x=3/x+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -x-2 } - \frac{ 2 }{ 1-x } = \frac{ 3 }{ x+1 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5,140054945$$

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,140054945$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,-1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Kerro -1 ja 2, niin saadaan -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Laske lukujen -2 ja 1+x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Laske lukujen -2-2x ja 2+x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen -4-6x-2x^{2} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 1 ja 4.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Laske lukujen x-1 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Laske lukujen x^{2}+x-2 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja -3x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Selvitä 3x yhdistämällä 6x ja -3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Lisää 6 molemmille puolille.

$$5+3x-x^{2}+6=0$$

Selvitä 11 laskemalla yhteen 5 ja 6.

$$11+3x-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+3x+11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla 11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 9 lukuun 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{-2}$$

Jaa -3+\sqrt{53} luvulla -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{53} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{-2}$$

Jaa -3-\sqrt{53} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2} x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -2,-1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), joka on lukujen x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Kerro -1 ja 2, niin saadaan -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Laske lukujen -2 ja 1+x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Laske lukujen -2-2x ja 2+x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen -4-6x-2x^{2} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Selvitä 5 laskemalla yhteen 1 ja 4.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Laske lukujen x-1 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Laske lukujen x^{2}+x-2 ja 3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Selvitä -x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja -3x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Vähennä 3x molemmilta puolilta.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Selvitä 3x yhdistämällä 6x ja -3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$3x-x^{2}=-6-5$$

Vähennä 5 luvusta -6 saadaksesi tuloksen -11.

$$3x-x^{2}=-11$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-11$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{11}{-1}$$

Jaa -11 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=11$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Lisää 11 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$