Ratkaise x/x^2-100+2/10-x

$$\frac { x } { x ^ { 2 } - 100 } + \frac { 2 } { 10 - x }$$

Laske

$$\frac{x+20}{100-x^{2}}$$

Lyhyen ratkaisun vaiheet

Jaa x^{2}-100 tekijöihin.

$$\frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{2}{10-x}$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen \left(x-10\right)\left(x+10\right) ja 10-x pienin yhteinen jaettava on \left(x-10\right)\left(x+10\right). Kerro \frac{2}{10-x} ja \frac{-\left(x+10\right)}{-\left(x+10\right)}.

$$\frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}$$

Koska arvoilla \frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)} ja \frac{2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{x+2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}$$

Suorita kertolaskut kohteessa x+2\left(-1\right)\left(x+10\right).

$$\frac{x-2x-20}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä x-2x-20.

$$\frac{-x-20}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}$$

Lavenna \left(x-10\right)\left(x+10\right).

$$\frac{-x-20}{x^{2}-100}$$

Derivoi muuttujan x suhteen

$$\frac{x^{2}+40x+100}{\left(100-x^{2}\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään osamäärän derivaattasääntöä

Jaa x^{2}-100 tekijöihin.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{2}{10-x})$$

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen \left(x-10\right)\left(x+10\right) ja 10-x pienin yhteinen jaettava on \left(x-10\right)\left(x+10\right). Kerro \frac{2}{10-x} ja \frac{-\left(x+10\right)}{-\left(x+10\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)}+\frac{2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)})$$

Koska arvoilla \frac{x}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)} ja \frac{2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)} on sama nimittäjä, laske ne yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x+2\left(-1\right)\left(x+10\right)}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)})$$

Suorita kertolaskut kohteessa x+2\left(-1\right)\left(x+10\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x-2x-20}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)})$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä x-2x-20.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-x-20}{\left(x-10\right)\left(x+10\right)})$$

Tarkastele lauseketta \left(x-10\right)\left(x+10\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 10 neliöön.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-x-20}{x^{2}-100})$$

Kun tarkastellaan kahta derivoituvaa funktiota, funktioiden osamäärän derivaatta on nimittäjä kertaa osoittajan derivaatta miinus osoittaja kertaa nimittäjän derivaatta ja tämä kaikki jaettuna nimittäjän neliöllä.

$$\frac{\left(x^{2}-100\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x^{1}-20)-\left(-x^{1}-20\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-100)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-100\right)\left(-1\right)x^{1-1}-\left(-x^{1}-20\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Tee laskutoimitus.

$$\frac{\left(x^{2}-100\right)\left(-1\right)x^{0}-\left(-x^{1}-20\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Lavenna osittelulain avulla.

$$\frac{x^{2}\left(-1\right)x^{0}-100\left(-1\right)x^{0}-\left(-x^{1}\times 2x^{1}-20\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Jos haluat kertoa samankantaiset potenssit, laske niiden eksponentit yhteen.

$$\frac{-x^{2}-100\left(-1\right)x^{0}-\left(-2x^{1+1}-20\times 2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Tee laskutoimitus.

$$\frac{-x^{2}+100x^{0}-\left(-2x^{2}-40x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Poista tarpeettomat sulkumerkit.

$$\frac{-x^{2}+100x^{0}-\left(-2x^{2}\right)-\left(-40x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\frac{\left(-1-\left(-2\right)\right)x^{2}+100x^{0}-\left(-40x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Vähennä -2 luvusta -1.

$$\frac{x^{2}+100x^{0}-\left(-40x^{1}\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$\frac{x^{2}+100x^{0}-\left(-40x\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Luvulle t, joka ei ole 0, pätee t^{0}=1.

$$\frac{x^{2}+100\times 1-\left(-40x\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$

Mille tahansa termille t pätee t\times 1=t ja 1t=t.

$$\frac{x^{2}+100-\left(-40x\right)}{\left(x^{2}-100\right)^{2}}$$