Ratkaise x+3/x-3+x-6/x+6=11

$$\frac { x + 3 } { x - 3 } + \frac { x - 6 } { x + 6 } = 11$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{1057} - 11}{6} \approx 3,585256069$$

$$x=\frac{-\sqrt{1057}-11}{6}\approx -7,251922736$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -6,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-3\right)\left(x+6\right), joka on lukujen x-3,x+6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+6\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x-6\right)=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x+6 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{2}+9x+18+\left(x-3\right)\left(x-6\right)=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x-3 ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{2}+9x+18+x^{2}-9x+18=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}+9x+18-9x+18=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä 9x ja -9x.

$$2x^{2}+18+18=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 36 laskemalla yhteen 18 ja 18.

$$2x^{2}+36=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen 11 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+36=\left(11x-33\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen 11x-33 ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}+36=11x^{2}+33x-198$$

Vähennä 11x^{2} molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+36-11x^{2}=33x-198$$

Selvitä -9x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja -11x^{2}.

$$-9x^{2}+36=33x-198$$

Vähennä 33x molemmilta puolilta.

$$-9x^{2}+36-33x=-198$$

Lisää 198 molemmille puolille.

$$-9x^{2}+36-33x+198=0$$

Selvitä 234 laskemalla yhteen 36 ja 198.

$$-9x^{2}+234-33x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-9x^{2}-33x+234=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -9, b luvulla -33 ja c luvulla 234 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 234}}{2\left(-9\right)}$$

Korota -33 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\left(-9\right)\times 234}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+36\times 234}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 36 ja 234.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+8424}}{2\left(-9\right)}$$

Lisää 1089 lukuun 8424.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{9513}}{2\left(-9\right)}$$

Ota luvun 9513 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{1057}}{2\left(-9\right)}$$

Luvun -33 vastaluku on 33.

$$x=\frac{33±3\sqrt{1057}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 2 ja -9.

$$x=\frac{33±3\sqrt{1057}}{-18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{33±3\sqrt{1057}}{-18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 33 lukuun 3\sqrt{1057}.

$$x=\frac{3\sqrt{1057}+33}{-18}$$

Jaa 33+3\sqrt{1057} luvulla -18.

$$x=\frac{-\sqrt{1057}-11}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{33±3\sqrt{1057}}{-18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{1057} luvusta 33.

$$x=\frac{33-3\sqrt{1057}}{-18}$$

Jaa 33-3\sqrt{1057} luvulla -18.

$$x=\frac{\sqrt{1057}-11}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{1057}-11}{6} x=\frac{\sqrt{1057}-11}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -6,3, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-3\right)\left(x+6\right), joka on lukujen x-3,x+6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+6\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)\left(x-6\right)=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x+6 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{2}+9x+18+\left(x-3\right)\left(x-6\right)=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x-3 ja x-6 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{2}+9x+18+x^{2}-9x+18=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$2x^{2}+9x+18-9x+18=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 0 yhdistämällä 9x ja -9x.

$$2x^{2}+18+18=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Selvitä 36 laskemalla yhteen 18 ja 18.

$$2x^{2}+36=11\left(x-3\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen 11 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x^{2}+36=\left(11x-33\right)\left(x+6\right)$$

Laske lukujen 11x-33 ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}+36=11x^{2}+33x-198$$

Vähennä 11x^{2} molemmilta puolilta.

$$2x^{2}+36-11x^{2}=33x-198$$

Selvitä -9x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja -11x^{2}.

$$-9x^{2}+36=33x-198$$

Vähennä 33x molemmilta puolilta.

$$-9x^{2}+36-33x=-198$$

Vähennä 36 molemmilta puolilta.

$$-9x^{2}-33x=-198-36$$

Vähennä 36 luvusta -198 saadaksesi tuloksen -234.

$$-9x^{2}-33x=-234$$

Jaa molemmat puolet luvulla -9.

$$\frac{-9x^{2}-33x}{-9}=-\frac{234}{-9}$$

Jakaminen luvulla -9 kumoaa kertomisen luvulla -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{33}{-9}\right)x=-\frac{234}{-9}$$

Supista murtoluku \frac{-33}{-9} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{234}{-9}$$

Jaa -234 luvulla -9.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=26$$

Jaa \frac{11}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{6}. Lisää sitten \frac{11}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=26+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=26+\frac{121}{36}$$

Lisää 26 lukuun \frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{1057}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1057}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1057}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{1057}}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{1057}}{6}$$

Vähennä \frac{11}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{1057}-11}{6} x=\frac{-\sqrt{1057}-11}{6}$$