Ratkaise 81/41-y+15=71/y

$$\frac { 81 } { 41 - y } + 15 = \frac { 71 } { y }$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y = \frac{\sqrt{413629} + 767}{30} \approx 47,004665122$$

$$y = \frac{767 - \sqrt{413629}}{30} \approx 4,128668211$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja y ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,41, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla y\left(y-41\right), joka on lukujen 41-y,y pienin yhteinen jaettava.

$$-y\times 81+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Kerro -1 ja 81, niin saadaan -81.

$$-81y+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Laske lukujen y ja y-41 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-81y+\left(y^{2}-41y\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Laske lukujen y^{2}-41y ja 15 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-81y+15y^{2}-615y=\left(y-41\right)\times 71$$

Selvitä -696y yhdistämällä -81y ja -615y.

$$-696y+15y^{2}=\left(y-41\right)\times 71$$

Laske lukujen y-41 ja 71 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-696y+15y^{2}=71y-2911$$

Vähennä 71y molemmilta puolilta.

$$-696y+15y^{2}-71y=-2911$$

Selvitä -767y yhdistämällä -696y ja -71y.

$$-767y+15y^{2}=-2911$$

Lisää 2911 molemmille puolille.

$$-767y+15y^{2}+2911=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$15y^{2}-767y+2911=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 15, b luvulla -767 ja c luvulla 2911 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{\left(-767\right)^{2}-4\times 15\times 2911}}{2\times 15}$$

Korota -767 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-4\times 15\times 2911}}{2\times 15}$$

Kerro -4 ja 15.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-60\times 2911}}{2\times 15}$$

Kerro -60 ja 2911.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{588289-174660}}{2\times 15}$$

Lisää 588289 lukuun -174660.

$$y=\frac{-\left(-767\right)±\sqrt{413629}}{2\times 15}$$

Luvun -767 vastaluku on 767.

$$y=\frac{767±\sqrt{413629}}{2\times 15}$$

Kerro 2 ja 15.

$$y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 767 lukuun \sqrt{413629}.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{767±\sqrt{413629}}{30}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{413629} luvusta 767.

$$y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30} y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja y ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista 0,41, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla y\left(y-41\right), joka on lukujen 41-y,y pienin yhteinen jaettava.

$$-y\times 81+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Kerro -1 ja 81, niin saadaan -81.

$$-81y+y\left(y-41\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Laske lukujen y ja y-41 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-81y+\left(y^{2}-41y\right)\times 15=\left(y-41\right)\times 71$$

Laske lukujen y^{2}-41y ja 15 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-81y+15y^{2}-615y=\left(y-41\right)\times 71$$

Selvitä -696y yhdistämällä -81y ja -615y.

$$-696y+15y^{2}=\left(y-41\right)\times 71$$

Laske lukujen y-41 ja 71 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-696y+15y^{2}=71y-2911$$

Vähennä 71y molemmilta puolilta.

$$-696y+15y^{2}-71y=-2911$$

Selvitä -767y yhdistämällä -696y ja -71y.

$$-767y+15y^{2}=-2911$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}-767y=-2911$$

Jaa molemmat puolet luvulla 15.

$$\frac{15y^{2}-767y}{15}=-\frac{2911}{15}$$

Jakaminen luvulla 15 kumoaa kertomisen luvulla 15.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y=-\frac{2911}{15}$$

Jaa -\frac{767}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{767}{30}. Lisää sitten -\frac{767}{30}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\left(-\frac{767}{30}\right)^{2}=-\frac{2911}{15}+\left(-\frac{767}{30}\right)^{2}$$

Korota -\frac{767}{30} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900}=-\frac{2911}{15}+\frac{588289}{900}$$

Lisää -\frac{2911}{15} lukuun \frac{588289}{900} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900}=\frac{413629}{900}$$

Jaa y^{2}-\frac{767}{15}y+\frac{588289}{900} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{767}{30}\right)^{2}=\frac{413629}{900}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{767}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{413629}{900}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{767}{30}=\frac{\sqrt{413629}}{30} y-\frac{767}{30}=-\frac{\sqrt{413629}}{30}$$

Lisää \frac{767}{30} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{\sqrt{413629}+767}{30} y=\frac{767-\sqrt{413629}}{30}$$