Ratkaise 4/x-5/x+1=1

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 5 } { x + 1 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+1\right), joka on lukujen x,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Kerro -1 ja 5, niin saadaan -5.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

Selvitä -2x yhdistämällä 3x ja -5x.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -2 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 4 lukuun 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

Jaa 2+2\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

Jaa 2-2\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+1\right), joka on lukujen x,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

Kerro -1 ja 5, niin saadaan -5.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

Selvitä -2x yhdistämällä 3x ja -5x.

$$-2x-x^{2}=-4$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

Jaa -2 luvulla -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

Jaa -4 luvulla -1.

$$x^{2}+2x=4$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Lisää 4 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+1\right), joka on lukujen x,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Kerro -1 ja 5, niin saadaan -5.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

Selvitä -2x yhdistämällä 3x ja -5x.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -2 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 4 lukuun 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

Jaa 2+2\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{5} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

Jaa 2-2\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+1\right), joka on lukujen x,x+1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja 4 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Vähennä x molemmilta puolilta.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Selvitä 3x yhdistämällä 4x ja -x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

Kerro -1 ja 5, niin saadaan -5.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

Selvitä -2x yhdistämällä 3x ja -5x.

$$-2x-x^{2}=-4$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

Jaa -2 luvulla -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

Jaa -4 luvulla -1.

$$x^{2}+2x=4$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Lisää 4 lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Sievennä.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$