Ratkaise 2x-3/x+1+x-3/x-1=2

$$\frac { 2 x - 3 } { x + 1 } + \frac { x - 3 } { x - 1 } = 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 7}{2} \approx 6,701562119$$

$$x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}\approx 0,298437881$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 2x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}-5x+3+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}-5x+3+x^{2}-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja x^{2}.

$$3x^{2}-5x+3-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä -7x yhdistämällä -5x ja -2x.

$$3x^{2}-7x+3-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä 3 luvusta 3 saadaksesi tuloksen 0.

$$3x^{2}-7x=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 2 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}-7x=\left(2x-2\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 2x-2 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}-7x=2x^{2}-2$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-7x-2x^{2}=-2$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -2x^{2}.

$$x^{2}-7x=-2$$

Lisää 2 molemmille puolille.

$$x^{2}-7x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -7 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2}}{2}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2}}{2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8}}{2}$$

Lisää 49 lukuun -8.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{41}}{2}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{41}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{41}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{41}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{41} luvusta 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,x-1 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x-1\right)\left(2x-3\right)+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x-1 ja 2x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}-5x+3+\left(x+1\right)\left(x-3\right)=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen x+1 ja x-3 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$2x^{2}-5x+3+x^{2}-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä 3x^{2} yhdistämällä 2x^{2} ja x^{2}.

$$3x^{2}-5x+3-2x-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Selvitä -7x yhdistämällä -5x ja -2x.

$$3x^{2}-7x+3-3=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Vähennä 3 luvusta 3 saadaksesi tuloksen 0.

$$3x^{2}-7x=2\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 2 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}-7x=\left(2x-2\right)\left(x+1\right)$$

Laske lukujen 2x-2 ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$3x^{2}-7x=2x^{2}-2$$

Vähennä 2x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x^{2}-7x-2x^{2}=-2$$

Selvitä x^{2} yhdistämällä 3x^{2} ja -2x^{2}.

$$x^{2}-7x=-2$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-2+\frac{49}{4}$$

Lisää -2 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{41}{4}$$

Jaa x^{2}-7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{41}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$$