Ratkaise 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=12$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -6,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+6\right), joka on lukujen x,x+6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x+6 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Selvitä 17x yhdistämällä 2x ja x\times 15.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Vähennä 6x molemmilta puolilta.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Selvitä 11x yhdistämällä 17x ja -6x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx+12. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 11.

$$a=12 b=-1$$

Kirjoita \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right) uudelleen muodossa -x^{2}+11x+12.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -1.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Jaa yleinen termi x-12 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-12=0 ja -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -6,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+6\right), joka on lukujen x,x+6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x+6 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Selvitä 17x yhdistämällä 2x ja x\times 15.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Vähennä 6x molemmilta puolilta.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Selvitä 11x yhdistämällä 17x ja -6x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 11 ja c luvulla 12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 121 lukuun 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±13}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Jaa 2 luvulla -2.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±13}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Jaa -24 luvulla -2.

$$x=12$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=12$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -6,0, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla x\left(x+6\right), joka on lukujen x,x+6 pienin yhteinen jaettava.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x+6 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Selvitä 17x yhdistämällä 2x ja x\times 15.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Laske lukujen x ja x+6 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Vähennä 6x molemmilta puolilta.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Selvitä 11x yhdistämällä 17x ja -6x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Vähennä 12 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$11x-x^{2}=-12$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Jaa 11 luvulla -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Jaa -12 luvulla -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Jaa -11 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{2}. Lisää sitten -\frac{11}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Lisää 12 lukuun \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Jaa x^{2}-11x+\frac{121}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Lisää \frac{11}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=12 x=-1$$