Ratkaise 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,x-1,x^{2}-1 pienin yhteinen jaettava.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Laske lukujen x+1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Selvitä 3x yhdistämällä x ja 2x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Selvitä 1 laskemalla yhteen -1 ja 2.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Selvitä x yhdistämällä 3x ja -2x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 1 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Jaa -1+\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Jaa -1-\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -1,1, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla \left(x-1\right)\left(x+1\right), joka on lukujen x+1,x-1,x^{2}-1 pienin yhteinen jaettava.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Laske lukujen x+1 ja 2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Selvitä 3x yhdistämällä x ja 2x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Selvitä 1 laskemalla yhteen -1 ja 2.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Selvitä x yhdistämällä 3x ja -2x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$x-x^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Jaa -1 luvulla -1.

$$x^{2}-x=1$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Lisää 1 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$