Ratkaise 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Laske

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Lyhyen ratkaisun vaiheet

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen n ja n+1 pienin yhteinen jaettava on n\left(n+1\right). Kerro \frac{1}{n} ja \frac{n+1}{n+1}. Kerro \frac{1}{n+1} ja \frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

Koska arvoilla \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} ja \frac{n}{n\left(n+1\right)} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Lavenna n\left(n+1\right).

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

Derivoi muuttujan n suhteen

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

Vaiheet, joissa käytetään ketjusääntöä

Jos haluat lisätä tai vähentää lausekkeita, lavenna ne niin, että niiden nimittäjät ovat samat. Lukujen n ja n+1 pienin yhteinen jaettava on n\left(n+1\right). Kerro \frac{1}{n} ja \frac{n+1}{n+1}. Kerro \frac{1}{n+1} ja \frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

Koska arvoilla \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} ja \frac{n}{n\left(n+1\right)} on sama nimittäjä, laske niiden erotus vähentämällä niiden osoittajat toisistaan.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

Yhdistä samanmuotoiset termit yhtälössä n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

Laske lukujen n ja n+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

Jos F on kahden derivoituvan funktion, f\left(u\right) ja u=g\left(x\right), yhdistelmä, eli jos F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), niin F:n derivaatta on f:n derivaatta u:n suhteen kertaa g:n derivaatta x:n suhteen, eli \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

Polynomin derivaatta on sen termien derivaattojen summa. Vakiotermin derivaatta on 0. Lausekkeen ax^{n} derivaatta on nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

Sievennä.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

Mille tahansa termille t pätee t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

Luvulle t, joka ei ole 0, pätee t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$