Ratkaise 1/5x-3=5x(1/10x+1/10)

$$\frac { 1 } { 5 } x - 3 = 5 x ( \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 10 } )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{591}i}{10}\approx -0,3+2,431049156i$$

$$x=\frac{-\sqrt{591}i-3}{10}\approx -0,3-2,431049156i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 5x ja \frac{1}{10}x+\frac{1}{10} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{1}{5}x-3=5x\times \frac{1}{10}x+5x\times \frac{1}{10}$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$\frac{1}{5}x-3=5x^{2}\times \frac{1}{10}+5x\times \frac{1}{10}$$

Kerro 5 ja \frac{1}{10}, niin saadaan \frac{5}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{5}{10}x^{2}+5x\times \frac{1}{10}$$

Supista murtoluku \frac{5}{10} luvulla 5.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+5x\times \frac{1}{10}$$

Kerro 5 ja \frac{1}{10}, niin saadaan \frac{5}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{10}x$$

Supista murtoluku \frac{5}{10} luvulla 5.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x$$

Vähennä \frac{1}{2}x^{2} molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{5}x-3-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x$$

Vähennä \frac{1}{2}x molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{5}x-3-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x=0$$

Selvitä -\frac{3}{10}x yhdistämällä \frac{1}{5}x ja -\frac{1}{2}x.

$$-\frac{3}{10}x-3-\frac{1}{2}x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{10}x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{1}{2}, b luvulla -\frac{3}{10} ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Korota -\frac{3}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}+2\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{\frac{9}{100}-6}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Lisää \frac{9}{100} lukuun -6.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\sqrt{-\frac{591}{100}}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Ota luvun -\frac{591}{100} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{10}\right)±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Luvun -\frac{3}{10} vastaluku on \frac{3}{10}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{-1}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{-1}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{3}{10} lukuun \frac{i\sqrt{591}}{10}.

$$x=\frac{3+\sqrt{591}i}{-10}$$

Jaa \frac{3+i\sqrt{591}}{10} luvulla -1.

$$x=\frac{-\sqrt{591}i-3}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{10}±\frac{\sqrt{591}i}{10}}{-1}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{591}}{10} luvusta \frac{3}{10}.

$$x=\frac{-\sqrt{591}i+3}{-10}$$

Jaa \frac{3-i\sqrt{591}}{10} luvulla -1.

$$x=\frac{-3+\sqrt{591}i}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{591}i-3}{10} x=\frac{-3+\sqrt{591}i}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 5x ja \frac{1}{10}x+\frac{1}{10} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{1}{5}x-3=5x\times \frac{1}{10}x+5x\times \frac{1}{10}$$

Kerro x ja x, niin saadaan x^{2}.

$$\frac{1}{5}x-3=5x^{2}\times \frac{1}{10}+5x\times \frac{1}{10}$$

Kerro 5 ja \frac{1}{10}, niin saadaan \frac{5}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{5}{10}x^{2}+5x\times \frac{1}{10}$$

Supista murtoluku \frac{5}{10} luvulla 5.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+5x\times \frac{1}{10}$$

Kerro 5 ja \frac{1}{10}, niin saadaan \frac{5}{10}.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{10}x$$

Supista murtoluku \frac{5}{10} luvulla 5.

$$\frac{1}{5}x-3=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x$$

Vähennä \frac{1}{2}x^{2} molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{5}x-3-\frac{1}{2}x^{2}=\frac{1}{2}x$$

Vähennä \frac{1}{2}x molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{5}x-3-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x=0$$

Selvitä -\frac{3}{10}x yhdistämällä \frac{1}{5}x ja -\frac{1}{2}x.

$$-\frac{3}{10}x-3-\frac{1}{2}x^{2}=0$$

Lisää 3 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-\frac{3}{10}x-\frac{1}{2}x^{2}=3$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{10}x=3$$

Kerro molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{10}x}{-\frac{1}{2}}=\frac{3}{-\frac{1}{2}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{1}{2} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{10}}{-\frac{1}{2}}\right)x=\frac{3}{-\frac{1}{2}}$$

Jaa -\frac{3}{10} luvulla -\frac{1}{2} kertomalla -\frac{3}{10} luvun -\frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{3}{-\frac{1}{2}}$$

Jaa 3 luvulla -\frac{1}{2} kertomalla 3 luvun -\frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-6$$

Jaa \frac{3}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{10}. Lisää sitten \frac{3}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-6+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-6+\frac{9}{100}$$

Lisää -6 lukuun \frac{9}{100}.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{591}{100}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{591}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{591}{100}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{591}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{591}i}{10}$$

Vähennä \frac{3}{10} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{591}i}{10} x=\frac{-\sqrt{591}i-3}{10}$$