Ratkaise 1/3x^2+6x=9

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Kun luku 9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla \frac{1}{3}, b luvulla 6 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kerro -4 ja \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kerro -\frac{4}{3} ja -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Lisää 36 lukuun 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Ota luvun 48 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kerro 2 ja \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Jaa -6+4\sqrt{3} luvulla \frac{2}{3} kertomalla -6+4\sqrt{3} luvun \frac{2}{3} käänteisluvulla.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{3} luvusta -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Jaa -6-4\sqrt{3} luvulla \frac{2}{3} kertomalla -6-4\sqrt{3} luvun \frac{2}{3} käänteisluvulla.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Kerro molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Jakaminen luvulla \frac{1}{3} kumoaa kertomisen luvulla \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Jaa 6 luvulla \frac{1}{3} kertomalla 6 luvun \frac{1}{3} käänteisluvulla.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Jaa 9 luvulla \frac{1}{3} kertomalla 9 luvun \frac{1}{3} käänteisluvulla.

$$x^{2}+18x=27$$

Jaa 18 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 9. Lisää sitten 9:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

Korota 9 neliöön.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Lisää 27 lukuun 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

Jaa x^{2}+18x+81 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Sievennä.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

Vähennä 9 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$