Ratkaise 1/1+i+i

$$\frac { 1 } { 1 + i } + i$$

Laske

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=0,5+0,5i$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro sekä luvun \frac{1}{1+i} osoittaja että sen nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1-i.

$$\frac{1\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}+i$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}}+i$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$\frac{1\left(1-i\right)}{2}+i$$

Kerro 1 ja 1-i, niin saadaan 1-i.

$$\frac{1-i}{2}+i$$

Jaa 1-i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i.

$$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i+i$$

Yhdistä lukujen \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i ja i reaali- ja imaginaariosat.

$$\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}+1\right)i$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun 1.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Reaaliosa

$$\frac{1}{2} = 0,5$$

Ratkaisun vaiheet

Kerro sekä luvun \frac{1}{1+i} osoittaja että sen nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 1-i.

$$Re(\frac{1\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}+i)$$

Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{1\left(1-i\right)}{1^{2}-i^{2}}+i)$$

Määritelmän mukaan i^{2} on -1. Laske nimittäjä.

$$Re(\frac{1\left(1-i\right)}{2}+i)$$

Kerro 1 ja 1-i, niin saadaan 1-i.

$$Re(\frac{1-i}{2}+i)$$

Jaa 1-i luvulla 2, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i.

$$Re(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i+i)$$

Yhdistä lukujen \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i ja i reaali- ja imaginaariosat.

$$Re(\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}+1\right)i)$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun 1.

$$Re(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i)$$

Luvun \frac{1}{2}+\frac{1}{2}i reaaliosa on \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}$$