Ratkaise (x+3)(6-x)/1-4x^2=-1/4

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 1 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{155} + 3}{4} \approx 3,862474899$$

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}\approx -2,362474899$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), joka on lukujen 1-4x^{2},4 pienin yhteinen jaettava.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen -4 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen -4x-12 ja 6-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen -1 ja 2x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen -2x+1 ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Lisää 4x^{2} molemmille puolille.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Selvitä 8x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja 4x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$-12x+8x^{2}-72-1=0$$

Vähennä 1 luvusta -72 saadaksesi tuloksen -73.

$$-12x+8x^{2}-73=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$8x^{2}-12x-73=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 8, b luvulla -12 ja c luvulla -73 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Korota -12 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -4 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\left(-73\right)}}{2\times 8}$$

Kerro -32 ja -73.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+2336}}{2\times 8}$$

Lisää 144 lukuun 2336.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{2480}}{2\times 8}$$

Ota luvun 2480 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Luvun -12 vastaluku on 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{2\times 8}$$

Kerro 2 ja 8.

$$x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 12 lukuun 4\sqrt{155}.

$$x=\frac{4\sqrt{155}+12}{16}$$

Jaa 12+4\sqrt{155} luvulla 16.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{155}}{16}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{155} luvusta 12.

$$x=\frac{12-4\sqrt{155}}{16}$$

Jaa 12-4\sqrt{155} luvulla 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Muuttuja x ei voi olla yhtä suuri kuin mikään arvoista -\frac{1}{2},\frac{1}{2}, sillä nollalla jakamista ei ole määritetty. Kerro yhtälön molemmat puolet luvulla 4\left(2x-1\right)\left(2x+1\right), joka on lukujen 1-4x^{2},4 pienin yhteinen jaettava.

$$-4\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen -4 ja x+3 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(-4x-12\right)\left(6-x\right)=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen -4x-12 ja 6-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-12x+4x^{2}-72=-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen -1 ja 2x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-12x+4x^{2}-72=\left(-2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Laske lukujen -2x+1 ja 2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-12x+4x^{2}-72=-4x^{2}+1$$

Lisää 4x^{2} molemmille puolille.

$$-12x+4x^{2}-72+4x^{2}=1$$

Selvitä 8x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja 4x^{2}.

$$-12x+8x^{2}-72=1$$

Lisää 72 molemmille puolille.

$$-12x+8x^{2}=1+72$$

Selvitä 73 laskemalla yhteen 1 ja 72.

$$-12x+8x^{2}=73$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-12x=73$$

Jaa molemmat puolet luvulla 8.

$$\frac{8x^{2}-12x}{8}=\frac{73}{8}$$

Jakaminen luvulla 8 kumoaa kertomisen luvulla 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)x=\frac{73}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{8} luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{73}{8}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{73}{8}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{73}{8}+\frac{9}{16}$$

Lisää \frac{73}{8} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{155}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{155}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{155}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{155}}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{155}}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{155}+3}{4} x=\frac{3-\sqrt{155}}{4}$$