Ratkaise =x^6+12x^3=40

$$= x ^ { 6 } + 12 x ^ { 3 } = 40$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x\in \sqrt[3]{2\left(\sqrt{19}+3\right)}e^{\frac{\pi i}{3}},\sqrt[3]{2\left(\sqrt{19}+3\right)}e^{\frac{5\pi i}{3}},-\sqrt[3]{2\left(\sqrt{19}+3\right)},\sqrt[3]{2\left(\sqrt{19}-3\right)}e^{\frac{4\pi i}{3}},\sqrt[3]{2\left(\sqrt{19}-3\right)},\sqrt[3]{2\left(\sqrt{19}-3\right)}e^{\frac{2\pi i}{3}}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 40 molemmilta puolilta.

$$x^{6}+12x^{3}-40=0$$

Korvaa x^{3} arvolla t.

$$t^{2}+12t-40=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 12 tilalle b ja muuttujan -40 tilalle c.

$$t=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 1\left(-40\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{-12±4\sqrt{19}}{2}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{-12±4\sqrt{19}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=2\sqrt{19}-6 t=-2\sqrt{19}-6$$

Koska x=t^{3}, ratkaisut haetaan yhtälön ratkaisu t mukaan.

$$x=-\sqrt[3]{2\sqrt{19}-6}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{2\sqrt{19}-6}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{2\sqrt{19}-6} x=-\sqrt[3]{2\sqrt{19}+6}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=-\sqrt[3]{2\sqrt{19}+6} x=\sqrt[3]{2\sqrt{19}+6}e^{\frac{\pi i}{3}}$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\sqrt[3]{2\sqrt{19}-6}\approx 1,395529599$$

$$x=\sqrt[3]{-2\sqrt{19}-6}\approx -2,450648052$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 40 molemmilta puolilta.

$$x^{6}+12x^{3}-40=0$$

Korvaa x^{3} arvolla t.

$$t^{2}+12t-40=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan 12 tilalle b ja muuttujan -40 tilalle c.

$$t=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 1\left(-40\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{-12±4\sqrt{19}}{2}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{-12±4\sqrt{19}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=2\sqrt{19}-6 t=-2\sqrt{19}-6$$

Koska x=t^{3}, ratkaisut on saatu arvioidaan x=\sqrt[3]{t} kullekin t.

$$x=\sqrt[3]{2\sqrt{19}-6} x=\sqrt[3]{-2\sqrt{19}-6}$$