حل y^2-6y-16=0

$$y ^ { 2 } - 6 y - 16 = 0$$

برای y حل کنید

$$y=-2$$

$$y=8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) از y^{2}-6y-16 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-6 ab=-16$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -16 است فهرست کنید.

$$1,-16 2,-8 4,-4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-16=-15 2-8=-6 4-4=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن -6 است.

$$a=-8 b=2$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(y+a\right)\left(y+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(y-8\right)\left(y+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-8=0 و y+2=0 را حل کنید.

$$y=8 y=-2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت y^{2}+ay+by-16 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-6 ab=1\left(-16\right)=-16$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -16 است فهرست کنید.

$$1,-16 2,-8 4,-4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-16=-15 2-8=-6 4-4=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن -6 است.

$$a=-8 b=2$$

y^{2}-6y-16 را به‌عنوان \left(y^{2}-8y\right)+\left(2y-16\right) بازنویسی کنید.

$$\left(y^{2}-8y\right)+\left(2y-16\right)$$

در گروه اول از y و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$y\left(y-8\right)+2\left(y-8\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-8 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-8\right)\left(y+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-8=0 و y+2=0 را حل کنید.

$$y=8 y=-2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$y^{2}-6y-16=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -6 را با b و -16 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-16\right)}}{2}$$

-6 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-16\right)}}{2}$$

-4 بار -16.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+64}}{2}$$

36 را به 64 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{100}}{2}$$

ریشه دوم 100 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±10}{2}$$

متضاد -6 عبارت است از 6.

$$y=\frac{6±10}{2}$$

اکنون معادله y=\frac{6±10}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 6 را به 10 اضافه کنید.

$$y=\frac{16}{2}$$

16 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=8$$

اکنون معادله y=\frac{6±10}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 10 را از 6 تفریق کنید.

$$y=-\frac{4}{2}$$

-4 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=-2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=8 y=-2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$y^{2}-6y-16=0$$

16 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y^{2}-6y-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

تفریق -16 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$y^{2}-6y=-\left(-16\right)$$

-16 را از 0 تفریق کنید.

$$y^{2}-6y=16$$

-6، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -3 شود. سپس مجذور -3 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=16+\left(-3\right)^{2}$$

-3 را مجذور کنید.

$$y^{2}-6y+9=16+9$$

16 را به 9 اضافه کنید.

$$y^{2}-6y+9=25$$

عامل y^{2}-6y+9. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-3\right)^{2}=25$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

ساده کنید.

$$y-3=5 y-3=-5$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=8 y=-2$$