حل y^prime=(cx^2+2x+2)e^-3x

$$y ^ { \prime } = ( c x ^ { 2 } + 2 x + 2 ) e ^ { - 3 x }$$

برای c حل کنید

$$c=-\frac{2\left(x+1\right)}{x^{2}}$$

$$x\neq 0$$

مراحل برای حل یک معادله خطی

از اموال توزیعی برای ضرب cx^{2}+2x+2 در e^{-3x} استفاده کنید.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)=cx^{2}e^{-3x}+2xe^{-3x}+2e^{-3x}$$

طرفین معادله را جابجا کنید تا همه جملات متغیر در سمت چپ قرار گیرند.

$$cx^{2}e^{-3x}+2xe^{-3x}+2e^{-3x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)$$

2xe^{-3x} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$cx^{2}e^{-3x}+2e^{-3x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)-2xe^{-3x}$$

2e^{-3x} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$cx^{2}e^{-3x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y)-2xe^{-3x}-2e^{-3x}$$

معادله به شکل استاندارد است.

$$\frac{x^{2}}{e^{3x}}c=\frac{-2x-2}{e^{3x}}$$

هر دو طرف بر x^{2}e^{-3x} تقسیم شوند.

$$\frac{\frac{x^{2}}{e^{3x}}ce^{3x}}{x^{2}}=\frac{\left(-\frac{2\left(x+1\right)}{e^{3x}}\right)e^{3x}}{x^{2}}$$

تقسیم بر x^{2}e^{-3x}، ضرب در x^{2}e^{-3x} را لغو می‌کند.

$$c=\frac{\left(-\frac{2\left(x+1\right)}{e^{3x}}\right)e^{3x}}{x^{2}}$$

-\frac{2\left(1+x\right)}{e^{3x}} را بر x^{2}e^{-3x} تقسیم کنید.

$$c=-\frac{2\left(x+1\right)}{x^{2}}$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{1-2c}+1}{c}\text{; }x=\frac{\sqrt{1-2c}-1}{c}\text{, }&c\neq 0\\x=-1\text{, }&c=0\end{matrix}\right.$$

برای x حل کنید

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{1-2c}+1}{c}\text{; }x=\frac{\sqrt{1-2c}-1}{c}\text{, }&c\neq 0\text{ and }c\leq \frac{1}{2}\\x=-1\text{, }&c=0\end{matrix}\right.$$