پرش به محتوای اصلی
مشتق گرفتن w.r.t. x
Tick mark Image
ارزیابی
Tick mark Image
گراف

مفاهیم مرتبط

چندجمله‌ای
چندجمله‌ای
در ریاضیات، چندجمله‌ای به عبارت متغیری گفته می‌شود که از ترکیب خطی تک‌جمله‌ای‌ها تشکیل گردیده است. توان متغیرهای به کاررفته در چندجمله‌ای باید اعداد صحیح غیرمنفی باشد. مثال‌ها: displaystylex²-4xᶠʳᵃᶜ²³+7, چندجمله‌ای نیست؛ چرا که توان متغیر displaystylex, در جملهٔ displaystyle-4xᶠʳᵃᶜ²³,عددی است کسری displaystylex³-4x⁻²+3x+7, چندجمله‌ای نیست؛ زیرا توان متغیر displaystylex, در جملهٔ displaystyle-4x⁻²,عددی است منفی. چندجمله‌ای‌ها از زمان‌های بسیار دور بکار گرفته شده‌اند. شکل فعلی چندجمله‌ای از قرن ۱۵ به وجود آمد. در قرون پیشین معادلات به صورت تشریحی نوشته می‌شدند که نمونه آن‌ها در کارهای دانشمندان ایرانی مانند خوارزمی و نوشته‌های چینی دیده شده است. البته به تازگی برای نوشتن چندجمله‌ای روش جدیدی معرفی شده که به وسیلهٔ آن انجام برخی عملیات ریاضی ساده‌تر شده است و همچنین توانسته پیوند جدیدی بین روش‌های درون یابی، سری هندسی، تصاعد هندسی … به وجود آورد. چندجمله‌ای‌ها در تمامی مباحث ریاضیات مهم بوده و نقش بسیار اساسی دارند. از چندجمله‌ای‌ها برای تقریب توابع در آنالیز عددی و حسابی استفاده می‌شود و در خارج از ریاضیات معادلات اساسی اقتصاد و علم فیزیک براساس چندجمله‌ای‌ها بیان می‌گردد. در جبر خطی از چندجمله‌ای‌ها برای معادلات مشخصه ماتریس‌ها به کار گرفته می‌شود. در نظریه گراف چندجمله‌ای‌های رنگ تعیین می‌نماید که چگونه گراف را با استفاده از تعدادی معین رنگ رنگ‌آمیزی نمود. چندجمله‌ای‌ها از عبارت‌هایی به نام تک‌جمله‌ای تشکیل شده است. این عبارات از ضرب یک عدد ثابت (بنام ضریب) در یک یا چند متغیر ایجاد می‌شوند. هر متغیر باید یک توان ثابت عددی داشته باشد. با توجه به displaystylex=x¹ درجه یک متغیر که نوشته نشده است برابر ۱ است. یک تک‌جمله‌ای بدون متغیر تک‌جمله‌ای ثابت یا به تنهایی ثابت خوانده می‌شود. ضریب یک تک‌جمله‌ای می‌تواند یک عدد صحیح، کسری، مختلط یا منفی تشکیل می‌شود. درجه یک جمله ثابت برابر ۰ است. یک تک‌جمله‌ای که از یک متغیر تشکیل شده است یک چندجمله‌ای تک‌متغیره نامیده می‌شود. به عنوان مثال: displaystyle-5x²y, یک تک‌جمله‌ای است. ضریب آن ۵- است. متغیرها x و y هستند و درجه x برابر ۲ و درجه y برابر ۱ هستند. درجه یک تک‌جمله‌ای برابر با مجموع تمام درجات متغیرهاست. در مثال بالا درجه برابر با ۳ است. یک چندجمله‌ای مجموع یک یا چند تک‌جمله‌ای است. در زیر یک چندجمله‌ای نشان داده شده است. displaystyle3x²-5x+4,. این عبارت دارای سه تک‌جمله‌ای است که درجه جمله اول ۲ و درجه جمله دوم برابر ۱ و جمله سوم درجه‌ای برابر با ۰ دارد. به‌صورت معمول هنگام نوشتن یک چندجمله‌ای عبارت به ترتیب درجه جملات آن نوشته می‌شود که از بزرگ‌تر به کوچک‌تر مرتب می‌شوند. در جمله اول ضریب ۳، متغیر x، و توان ۲ است. در جمله دوم ضریب ۵، متغیر x، توان ۱ است. جمله سوم یک ثابت است. درجه یک چندجمله‌ای برابر با بزرگ‌ترین درجه بین جملات آن است. درجه این چندجمله‌ای ۲ است. چندجمله‌ای با درجه یک خطی با درجه ۲ مربعی و با درجه ۳ مکعبی نامیده می‌شود. چندجمله‌ای با یک جمله تک‌جمله‌ای، با دو جمله دوجمله‌ای، و با سه جمله سه‌جمله‌ای خوانده می‌شود. عبارت‌های ریاضی که با استفاده از قانون‌های توزیع‌پذیری، جابجایی، و شرکت‌پذیری به چندجمله‌ای تبدیل می‌شوند را نیز چندجمله‌ای در نظر می‌گیرند. به عنوان مثال: displaystylefracx³12 یک چندجمله‌ای است چرا که می‌توان آن را به صورت displaystyletfrac112x³ نوشت. ضریب آن برابر است با: displaystyletfrac112. به‌طور معمول تقسیم بر یک عبارت شامل متغیرها چندجمله‌ای در نظر گرفته نمی‌شود. به عنوان مثال: displaystyle1overx²+1, یک چندجمله‌ای نیست زیرا که بر یک متغیر تقسیم شده است. به‌طور مشابه: displaystyle(5+y)ˣ,, یک چندجمله‌ای نیست چرا که توان متغیر دارد. با توجه به این که می‌توان تفاضل را به صورت حالت خاص جمع و توان را می‌توان به صورت ضرب پی در پی در نظر گرفت. پس در نتیجه چندجمله‌ای‌ها را می‌توان با دو عمل جمع و ضرب ساخت. درجه چندجمله‌ای بیانگر بزرگ‌ترین توان یک متغیر است. نکته: عبارت را به ساده‌ترین حالت ممکن در بیاورید سپس درجه را مشخص کنید. مثال: درجه عبارات زیر را مشخص کنید. الف) displaystyle3x²-5x+4 درجه عبارت ۲ می‌باشد. ب) displaystyle10x³times5x⁴+9 ابتدا ساده می‌کنیم. displaystyle50x⁷+9 درجه عبارت ۷ می‌باشد. برحسب توان متغیر از بزرگ به کوچک مرتب می‌کنیم. مثال: فرم استاندارد چندجمله‌ای زیر را بنویسید. displaystyle10x³-18x⁷-69x⁵ جواب: displaystyle-18x⁷-69x⁵+10x³ برای جمع و تفریق چندجمله‌ای‌ها باید از جملات متشابه استفاده کرد. جملات غیرمتشابه قابل جمع و تفریق نیستند. نکته: ضرایب چتدجمله‌ای‌ها با هم جمع و تفریق می‌شوند. مثال: عبارات زیر را جمع و تفریق کنید. displaystyle5x²y⁹+9x³n⁸-36x²y⁹ حل: displaystyle9x³n⁸-31x²y⁹ نکته: برای تعیین درجه چندجمله‌ای باید بعد از جمع و تفریق و ساده کردن عبارت آن را مشخص کرد. وقتی دوچندجمله‌ای در هم ضرب می‌شوند، پایه‌ها در هم ضرب می‌شوند و متغیرها در هم ضرب می‌شوند. مثال: عبارات زیر را ضرب کنید. displaystyle5x²times8y⁴ حل: displaystyle40x²y⁴ نکته: ممکن است یک جمله در چند جمله ضرب شود. در این صورت آن جمله را در کل پرانتز ضرب می‌کنیم. displaystyle5x²(12v⁶+45c³+3x³) حل: displaystyle60x²v⁶+225x²c³+15x⁵ یک تابع چندجمله‌ای تابعی است که از ارزیابی یک چندجمله‌ای حاصل می‌گردد. به عنوان مثال f تعریف شده توسط displaystylef(x)=x³-x, یک تابع چندجمله‌ای است. از آنجا که توان متغیرهای موجود در جمله‌ها تنها به اعداد صحیح غیر منفی محدود گردیده، و چون عمل تقسیم بر عبارات حاوی متغیرها غیرمجاز اعلام شده، توابع چندجمله‌ای عاری از هرگونه رفتار غیر متعارف نظیر ناپیوستگی، مشتق‌ناپذیری، پرش به سمت بینهایت، و مجانب داشتن هستند. یک معادله چندجمله‌ای معادله‌ای است که از مساوی قرار دادن دو چندجمله‌ای حاصل می‌گردد. displaystyle3x²+4x-5=0, یک معادله چندجمله‌ایست. در جبر مقدماتی راه‌حل‌هایی برای معادلات از درجه یک و دو ارائه می‌شود. تعداد پاسخ‌ها نمی‌تواند از درجه معادله بیشتر باشد که به آن قضیه اساسی جبر گفته می‌شود. سیستم چندجمله‌ای‌ها به تعدادی از معادلات گفته می‌شود که در آن‌ها یک متغیر باید مقداری یکسان در تمام آن‌ها داشته باشد. اگر در یک سیستم تعداد متغیرها کمتر از تعداد معادلات باشد سیستم بیش از حد تعیین گشته است که در عمل این گونه سیستم‌ها بسیار دیده می‌شود. به عنوان مثال آمریکا برای یک مطالعه نقشه‌برداری با استفاده از رایانه به حل ۲٫۵ میلیون معادله با ۴۰۰۰۰۰ مجهول اقدام نمود. اگر تعداد معادلات از تعداد مجهول‌ها بیشتر باشد سیستم غیرمشخص است و جواب یکتایی ممکن است برای آن وجود نداشته باشد. مجموع دو چندجمله‌ای یک چندجمله‌ای است. به‌عبارت فنی‌تر، مجموعهٔ دربرگیرندهٔ همهٔ چندجمله‌ای‌ها، تحت عمل جمع بسته است. ضرب دو چندجمله‌ای یک چندجمله‌ای است؛ یعنی، مجموعهٔ چندجمله‌ای‌ها، تحت عمل ضرب بسته است. مشتق یک چندجمله‌ای یک چندجمله‌ایست. به‌زبان دیگر، مجموعهٔ چندجمله‌ای‌ها، نسبت به عمل مشتق‌گیری بسته است. پادمشتق یک چندجمله‌ای یک چندجمله‌ایست. یا مجموعهٔ چندجمله‌ای‌ها، نسبت به عمل انتگرال‌گیری نامعین بسته است. از چندجمله‌ای‌ها برای تقریب زدن سایر تابع‌ها مانند سینوس و کسینوس و تابع نمایی استفاده می‌شود. تمام چندجمله‌ای‌ها را می‌توان به گونه‌ای نوشت که در آن‌ها پارانتز حذف شده باشد و همچنین چندجمله‌ای‌ها را می‌توان به صورت ضرب دو یا چند چندجمله‌ای خطی نوشت. displaystylex²-2x-3, را می‌توان به صورت زیر نوشت: displaystyle(x-3)(x+1), توجه شود که ثوابت در بعضی حالات می‌توانند به صورت اعداد مختلط باشند. هر چندجمله‌ای با یک متغیر به صورت زیر می‌باشد: displaystyleaₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+cdots+a₂x²+a₁x+a₀ صورت بالا را می‌توان برای تعریف چندجمله‌ای‌های تک‌متغیره بکار برد. ارزیابی چندجمله‌ای‌ها با قرار دادن مقدار متغیر و اعمال جمع و ضرب صورت می‌گیرد. البته استفاده از فرمول هرنر می‌تواند مفید باشد.

مشکلات مشابه از جستجوی وب

اشتراک گذاشتن

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x-4)
-7 و 3 را برای دریافت -4 اضافه کنید.
x^{1-1}
مشتق یک چند جمله‌ای، مجموع مشتق‌های عبارت‌های آن است. مشتق یک عبارت ثابت 0 است. مشتق ax^{n} برابر است با nax^{n-1}.
x^{0}
1 را از 1 تفریق کنید.
1
برای هر عبارت t به جز 0، t^{0}=1.
x-4
-7 و 3 را برای دریافت -4 اضافه کنید.