حل x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

برای x حل کنید

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

برای حل نامعادله، سمت چپ را فاکتور بگیرید. چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$x^{2}-2x-1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -2 را با b، و -1 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

معادله x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

با استفاده از راه‌حل‌های به‌دست‌آمده، نامعادله را بازنویسی کنید.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

برای اینکه حاصل ≤0 شود، یکی از مقادیر x-\left(\sqrt{2}+1\right) و x-\left(1-\sqrt{2}\right) باید ≥0 و دیگری ≤0 باشد. مورد را در نظر بگیرید، هنگامی که x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 و x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

این برای هر x، غلط است.

$$x\in \emptyset$$

مورد را در نظر بگیرید، هنگامی که x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 و x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

راه‌حل مناسب برای هر دو نامعادله x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right] است.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

راه حل نهایی اجتماع راه‌حل‌های به‌دست‌آمده است.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$