حل 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1.777777778$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

25 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

تفریق 25 را از 9 برای به دست آوردن -16 تفریق کنید.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 9x^{2}+ax+bx-16 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -144 است فهرست کنید.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-9 b=16$$

9x^{2}+7x-16 را به‌عنوان \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right) بازنویسی کنید.

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

در گروه اول از 9x و در گروه دوم از 16 فاکتور بگیرید.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 9x+16=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

25 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

تفریق 25 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

25 را از 9 تفریق کنید.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 9 را با a، 7 را با b و -16 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-4 بار 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

-36 بار -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

49 را به 576 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

ریشه دوم 625 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

2 بار 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±25}{18} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 25 اضافه کنید.

$$x=\frac{18}{18}$$

18 را بر 18 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{-7±25}{18} وقتی که ± منفی است حل کنید. 25 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{32}{18}$$

کسر \frac{-32}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{16}{9}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

تفریق 9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

9 را از 25 تفریق کنید.

$$9x^{2}+7x=16$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

تقسیم بر 9، ضرب در 9 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

\frac{7}{9}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{18} شود. سپس مجذور \frac{7}{18} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

\frac{7}{18} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{16}{9} را به \frac{49}{324} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

\frac{7}{18} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$