حل 9x^2-12x+4=0

$$9 { x }^{ 2 } -12x+4=0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 9x^{2}+ax+bx+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 36 است فهرست کنید.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

جواب زوجی است که مجموع آن -12 است.

$$a=-6 b=-6$$

9x^{2}-12x+4 را به‌عنوان \left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(-6x+4\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از -2 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(3x-2\right)-2\left(3x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-2\right)\left(3x-2\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(3x-2\right)^{2}$$

برای پیدا کردن جواب معادله، 3x-2=0 را حل کنید.

$$x=\frac{2}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 9 را با a، -12 را با b و 4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

-12 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

-4 بار 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

-36 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

144 را به -144 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$x=-\frac{-12}{2\times 9}$$

متضاد -12 عبارت است از 12.

$$x=\frac{12}{2\times 9}$$

2 بار 9.

$$x=\frac{12}{18}$$

کسر \frac{12}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{2}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$9x^{2}-12x+4=0$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$9x^{2}-12x+4-4=-4$$

تفریق 4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$9x^{2}-12x=-4$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=-\frac{4}{9}$$

تقسیم بر 9، ضرب در 9 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

کسر \frac{-12}{9} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{4}{9}$$

-\frac{4}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{2}{3} شود. سپس مجذور -\frac{2}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{4}{9} را به \frac{4}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=0$$

عامل x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{2}{3}=0 x-\frac{2}{3}=0$$

\frac{2}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{2}{3} x=\frac{2}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است. راهکارها مشابه هستند.

$$x=\frac{2}{3}$$