حل 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

21 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 8x^{2}+ax+bx-21 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -168 است فهرست کنید.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 2 است.

$$a=-12 b=14$$

8x^{2}+2x-21 را به‌عنوان \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right) بازنویسی کنید.

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-3=0 و 4x+7=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$8x^{2}+2x=21$$

21 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

تفریق 21 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 8 را با a، 2 را با b و -21 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

2 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

-4 بار 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

-32 بار -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

4 را به 672 اضافه کنید.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

ریشه دوم 676 را به دست آورید.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

2 بار 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±26}{16} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -2 را به 26 اضافه کنید.

$$x=\frac{24}{16}$$

کسر \frac{24}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-2±26}{16} وقتی که ± منفی است حل کنید. 26 را از -2 تفریق کنید.

$$x=-\frac{28}{16}$$

کسر \frac{-28}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{7}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$8x^{2}+2x=21$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

تقسیم بر 8، ضرب در 8 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

کسر \frac{2}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

\frac{1}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{8} شود. سپس مجذور \frac{1}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

\frac{1}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{21}{8} را به \frac{1}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

عامل x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

\frac{1}{8} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$