حل 7+4x+5x^2=0

$$7+4x+5 { x }^{ 2 } = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}\approx -0.4+1.113552873i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}\approx -0.4-1.113552873i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، 4 را با b و 7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 7}}{2\times 5}$$

-20 بار 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-140}}{2\times 5}$$

16 را به -140 اضافه کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-124}}{2\times 5}$$

ریشه دوم -124 را به دست آورید.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -4 را به 2i\sqrt{31} اضافه کنید.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{31}i}{10}$$

-4+2i\sqrt{31} را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2i\sqrt{31} را از -4 تفریق کنید.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-4}{10}$$

-4-2i\sqrt{31} را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

7 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x^{2}+4x+7-7=-7$$

تفریق 7 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}+4x=-7$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{7}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{7}{5}$$

\frac{4}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{2}{5} شود. سپس مجذور \frac{2}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

\frac{2}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{7}{5} را به \frac{4}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{31}{25}$$

عامل x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{31}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{25}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{31}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{31}i}{5}$$

\frac{2}{5} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$