حل 7x^2+11x-6=0

$$7 x ^ { 2 } + 11 x - 6 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-2$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 7x^{2}+ax+bx-6 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=11 ab=7\left(-6\right)=-42$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -42 است فهرست کنید.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 11 است.

$$a=-3 b=14$$

7x^{2}+11x-6 را به‌عنوان \left(7x^{2}-3x\right)+\left(14x-6\right) بازنویسی کنید.

$$\left(7x^{2}-3x\right)+\left(14x-6\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$x\left(7x-3\right)+2\left(7x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 7x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(7x-3\right)\left(x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 7x-3=0 و x+2=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$7x^{2}+11x-6=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 7 را با a، 11 را با b و -6 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 7\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 7\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

-4 بار 7.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-28\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

-28 بار -6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 7}$$

121 را به 168 اضافه کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 7}$$

ریشه دوم 289 را به دست آورید.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 7}$$

2 بار 7.

$$x=\frac{-11±17}{14}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±17}{14} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به 17 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{14}$$

کسر \frac{6}{14} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{7}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±17}{14} وقتی که ± منفی است حل کنید. 17 را از -11 تفریق کنید.

$$x=-\frac{28}{14}$$

-28 را بر 14 تقسیم کنید.

$$x=-2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$7x^{2}+11x-6=0$$

6 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$7x^{2}+11x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

تفریق -6 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$7x^{2}+11x=-\left(-6\right)$$

-6 را از 0 تفریق کنید.

$$7x^{2}+11x=6$$

هر دو طرف بر 7 تقسیم شوند.

$$\frac{7x^{2}+11x}{7}=\frac{6}{7}$$

تقسیم بر 7، ضرب در 7 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x=\frac{6}{7}$$

\frac{11}{7}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{11}{14} شود. سپس مجذور \frac{11}{14} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\left(\frac{11}{14}\right)^{2}=\frac{6}{7}+\left(\frac{11}{14}\right)^{2}$$

\frac{11}{14} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=\frac{6}{7}+\frac{121}{196}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{6}{7} را به \frac{121}{196} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=\frac{289}{196}$$

عامل x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{11}{14}\right)^{2}=\frac{289}{196}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{196}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{11}{14}=\frac{17}{14} x+\frac{11}{14}=-\frac{17}{14}$$

\frac{11}{14} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$